{"id":306,"date":"2013-09-03T19:31:40","date_gmt":"2013-09-03T19:31:40","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?page_id=306"},"modified":"2013-11-03T17:48:39","modified_gmt":"2013-11-03T17:48:39","slug":"komplexe-zahlen","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/horstth.de\/?page_id=306","title":{"rendered":"Komplexe Zahlen"},"content":{"rendered":"

Die Gleichung x<\/i>2<\/sup> = <\/span>–<\/span>1 hat in der Menge R<\/i><\/b> der reellen Zahlen keine L\u00f6sung. Denn es gibt keine (reelle) Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, <\/span>–<\/span>1 ergibt. Mit anderen Worten, die Zahl <\/span>\u221a(<\/span>–<\/span>1) ist kein Element von R<\/i><\/b>. Es ist aber in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik sinnvoll, mit dieser Zahl zu rechnen. Man nennt sie die imagin\u00e4re Einheit <\/i>und bezeichnet sie mit dem Symbol i<\/i>. Damit gilt i<\/i>2<\/sup> = <\/span>–<\/span>1. In der Mathematik zeigt man, dass Gleichungen beliebigen Grades L\u00f6sungen haben von der Form z<\/i> =\u00a0 x<\/i> + iy<\/i>, wobei x<\/i> und y<\/i> reelle Zahlen sind. Zahlen der Form z<\/i> =\u00a0 x<\/i> + iy <\/i>\u00a0bilden die Menge C<\/i><\/b> der komplexen Zahlen<\/i>. Dabei hei\u00dft x<\/i> Realteil<\/i>, y<\/i> Imagin\u00e4rteil<\/i> der komplexen Zahl z.<\/i> Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist einfach: Um zum Beispiel 3 <\/span>–<\/span> 2i<\/i> und 7 + 4i<\/i> zu addieren, fasst man Real- und Imagin\u00e4rteil getrennt zusammen. Die Summe ist 10 + 2i<\/i>. Beim Multiplizieren wird zun\u00e4chst das Distributivgesetz angewandt, das hei\u00dft, man rechnet (3 <\/span>–<\/span> 2i<\/i>)(7 + 4i<\/i>) = 21 + 12i<\/i> <\/span>–<\/span> 14i <\/i>\u2013 8i<\/i>2<\/sup>. Dann beachtet man i<\/i>2<\/sup> = <\/span>–<\/span>1, so dass\u00a0 21 + 12i<\/i> <\/span>–<\/span> 14i <\/i>+ 8 = 29 <\/span>–<\/span> 2i<\/i> folgt. Komplexe Zahlen lassen sich nach einem Vorschlag von C. F. Gau\u00df<\/i> (1777 <\/span>–<\/span> 1855) in einem Koordinatensystem darstellen: der Realteil als x<\/i>-Koordinate, der Imagin\u00e4rteil als y<\/i>-Koordinate. Dieses System hei\u00dft Gau\u00df<\/i>\u2019sche Zahlenebene.<\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die Gleichung x2 = –1 hat in der Menge R der reellen Zahlen keine L\u00f6sung. Denn es gibt keine (reelle) Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, –1 ergibt. Mit anderen Worten, die Zahl \u221a(–1) ist kein Element von R. Es ist aber in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik sinnvoll, mit dieser Zahl zu rechnen. Man nennt sie die…<\/p>\n

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