{"id":1037,"date":"2014-10-27T11:29:41","date_gmt":"2014-10-27T10:29:41","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=1037"},"modified":"2021-04-18T16:38:39","modified_gmt":"2021-04-18T14:38:39","slug":"der-goldene-schnitt-noch-ein-beispiel","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=1037","title":{"rendered":"Der Goldene Schnitt – noch ein Beispiel"},"content":{"rendered":"

Goldener Schnitt und Physik haben nicht viel gemeinsam, sollte man meinen. Stimmt nicht – eine Aufgabe aus der Elektrizit\u00e4tslehre<\/a> zeigt das. Das nachfolgende Beispiel stammt auch aus der Physik und ist in Fachkreisen sicher bekannt. Mir fiel jetzt ein, dass ich es vor Jahren einmal nachgerechnet habe. Danach verga\u00df ich es – das hat es nicht verdient. Also eine kleine Neuauflage des Problems. Es geht um ein L<\/em>-f\u00f6rmiges St\u00fcck Karton.<\/p>\n

\"Abb.<\/a>

Abb. 1<\/p><\/div>\n

Wir starten mit einem quadratischen St\u00fcck Karton. Aus diesem Quadrat soll ein kleineres Quadrat an der rechten oberen Ecke herausgeschnitten werden, dessen Seiten parallel zu denen des gr\u00f6\u00dferen Quadrats sind. \u00dcbrig bleibt ein L-<\/i>f\u00f6rmiges Kartongebilde mit gleich langen Schenkeln. Dieses soll am Schnittpunkt der Schenkel-Innenkanten so aufgeh\u00e4ngt werden, dass seine Schenkel in der Waagerechten sind. Frage: Wie gro\u00df muss die Kantenl\u00e4nge des herausgeschnittenen Quadrats sein, bezogen auf die Kantenl\u00e4nge des urspr\u00fcnglichen Quadrats, damit dies der Fall ist?<\/p>\n

Man sieht sofort ein, dass der Aufh\u00e4ngepunkt der Schwerpunkt der L<\/i>-f\u00f6rmigen Restfl\u00e4che sein muss. Wir m\u00fcssen daher die Lage dieses Schwerpunkts berechnen, und zwar in Abh\u00e4ngigkeit von der Kantenl\u00e4nge des herausgeschnittenen Quadrats.<\/p>\n

Um die Rechnung zu vereinfachen, setzen wir die Kantenl\u00e4nge des urspr\u00fcnglichen Quadrats gleich 1 (Eins). Die Kantenl\u00e4nge des herausgeschnittenen Quadrats sei r <\/i><\/strong>genannt. Es ist nun sinnvoll, ein (rechtwinkliges) Koordinatensystem zugrunde zu legen, dessen Ursprung mit der linken unteren Ecke des urspr\u00fcnglichen Quadrats zusammen f\u00e4llt, und dessen Achsen sich in Richtung der unteren Kante (x<\/i>-Achse) bzw. linken Kante (y<\/i>-Achse) dieses Quadrats erstrecken (Abb. 1).<\/p>\n

\"Abb.<\/a>

Abb. 2 Das ausbalancierte L (rot)<\/p><\/div>\n

Die Rechnung<\/a> ergibt, dass r<\/em> der Gleichung\u00a0\u00a0\u00a0r3 <\/sup>\u00a0 –\u00a0 2r\u00a0 +\u00a0 1\u00a0 =\u00a0\u00a0 0 <\/strong><\/em>gen\u00fcgen muss. Die positiven L\u00f6sungen dieser Gleichung sind r<\/em> = 1 oder r = 0,61803398… . Das hei\u00dft, der Schnittpunkt der Schenkel-Innenkanten des \u201eL<\/i>\u201c \u00a0liegt entweder bei ( x<\/i>, y <\/i>)\u00a0\u00a0 =\u00a0 (1, 1)\u00a0 oder bei ( x<\/i>, y <\/i>)\u00a0\u00a0 =\u00a0\u00a0 (0,618\u2026, 0,618\u2026). Die erste L\u00f6sung \u00a0(1, 1)\u00a0\u00a0 entspricht einem \u201eL<\/i>\u201c mit Fl\u00e4cheninhalt Null, sie ist physikalisch nicht zu realisieren. Bei der zweiten hingegen liegt der Schwerpunkt innerhalb der Fl\u00e4che des urspr\u00fcnglichen Quadrats, und zwar im \u201eGoldenen Schnitt\u201c der Quadratseiten1<\/sup>. Abb. 2 zeigt ein solches ausbalanciertes L<\/i>.<\/p>\n

1<\/sup> Alles \u00fcber den Goldenen Schnitt steht z. B. bei A. Beutelspacher<\/i> und B. Petri<\/i>: Der Goldene Schnitt<\/strong>, BI<\/i>-Verlag, Mannheim 1989<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Goldener Schnitt und Physik haben nicht viel gemeinsam, sollte man meinen. Stimmt nicht – eine Aufgabe aus der Elektrizit\u00e4tslehre zeigt das. Das nachfolgende Beispiel stammt auch aus der Physik und ist in Fachkreisen sicher bekannt. Mir fiel jetzt ein, dass ich es vor Jahren einmal nachgerechnet habe. Danach verga\u00df ich es – das hat es nicht verdient. Also eine kleine…<\/p>\n

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