{"id":116,"date":"2013-06-18T20:06:54","date_gmt":"2013-06-18T20:06:54","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=116"},"modified":"2021-04-18T16:43:39","modified_gmt":"2021-04-18T14:43:39","slug":"feigenbaum-diagramme","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=116","title":{"rendered":"Feigenbaum-Diagramme"},"content":{"rendered":"

\"Von<\/a>Ein kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x<\/i> = 1,2 ist x<\/i>2<\/sup> = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x<\/i>2<\/sup>)2<\/sup> = 2,0736. F\u00e4hrt man mit dieser Rechnung fort, erh\u00e4lt man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder \u00fcber alle Grenzen wachsen. W\u00e4hlt man dagegen als Anfangszahl x<\/i> = 0,8, entsteht die Folge 0,64, 0,4096, 0,16778, 0,028147, ….. , die gegen den Grenzwert Null strebt.<\/p>\n

Zahlenfolgen, die durch Iteration entstehen, k\u00f6nnen unerwartete Eigenschaften haben. Ihr Verhalten h\u00e4ngt in der Regel vom Anfangswert ab. Interessant sind Folgen, bei denen in jedem Schritt nicht nur quadriert, sondern nach dem Quadrieren eine reelle Konstante c addiert wird. Das hei\u00dft, man erzeugt den Nachfolger\u00a0xn+1<\/sub> der Zahl xn<\/sub> durch die Rechenvorschrift xn+1<\/sub> = (xn<\/sub>)2<\/sup> +\u00a0 c. Jetzt h\u00e4ngt das Verhalten der Zahlenfolge auch vom Wert von c ab. Beispiel: Startet man mit\u00a0 x<\/i>0<\/sub> = 0,\u00a0 ergibt c<\/i> =\u00a0 <\/span>0,25 die Folge 0,25,\u00a0 <\/span>0,3125,\u00a0 <\/span>0,347656\u00a0 <\/span>usw. Sie strebt gegen den Grenzwert x<\/i> = 0,500. F\u00fcr c<\/i> = –<\/span><\/span> 0,5 erh\u00e4lt man die Folge\u00a0 <\/span>–<\/span><\/span> 0,50, –<\/span><\/span> 0,25, –<\/span><\/span> 0,4375, –<\/span><\/span>\u00a0 <\/span>0,308594, usw. , die gegen x<\/i> = –<\/span><\/span> 0,366025… strebt. Eine noch kompliziertere Rechenvorschrift ist x<\/i>n +1<\/sub> =\u00a0 x<\/i>n<\/sub>2<\/sup> – x<\/i>n<\/sub>-1<\/sub> + c. Bei dieser Folge ergibt sich der Nachfolger aus dem Vorg\u00e4nger und dem Vor-Vorg\u00e4nger der Zahl x<\/i>n +1<\/sub>.<\/p>\n

Derart erzeugte Folgen zeigen mitunter chaotisches Verhalten<\/strong>, obwohl sie durch eine streng deterministische Rechenvorschrift entstehen. Tr\u00e4gt man die Zahlenwerte der Folgeglieder in Abh\u00e4ngigkeit vom Parameter c in ein Koordinatensystem ein, erh\u00e4lt man ein Diagramm, das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum benannt wird. Die Abbildung zeigt ein solches Feigenbaum-Diagramm<\/strong> f\u00fcr einen kleinen Ausschnitt von Folge- und Parameterwerten.<\/p>\n

Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen \u00e4sthetischen Reiz.\u00a0 Mehr dazu und zur Mathematik dieser Diagramme hier<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ein kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x = 1,2 ist x2 = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x2)2 = 2,0736. F\u00e4hrt man mit dieser Rechnung fort, erh\u00e4lt man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder \u00fcber alle Grenzen wachsen. W\u00e4hlt man dagegen als Anfangszahl x = 0,8, entsteht…<\/p>\n

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