{"id":1849,"date":"2015-12-12T23:25:14","date_gmt":"2015-12-12T22:25:14","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=1849"},"modified":"2022-10-05T18:56:55","modified_gmt":"2022-10-05T16:56:55","slug":"eulers-primzahlpolynom","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=1849","title":{"rendered":"Eulers Primzahlpolynom"},"content":{"rendered":"

Setzt man im Term x<\/i>2 <\/sup>\u2013 x <\/i>+ 41 nacheinander x<\/i> = 1, 2, 3, usw. bis x<\/i> = 40, so erh\u00e4lt man die Zahlen 41, 43, 47, 53, usw. bis 1601, die allesamt Primzahlen sind. Dasselbe gilt f\u00fcr den Term x<\/i>2 <\/sup>+ x <\/i>+ 41 und x<\/i> = 1, 2, 3, usw. bis x<\/i> = 39. Das war schon Euler<\/i>1<\/sup> (1772) bekannt. Der Term wird deshalb auch nach ihm benannt (Eulersches Primzahl-Polynom<\/i>). F\u00fcr Werte x<\/i> > 40 liefern er zwar keine ununterbrochene Folge von Primzahlen, aber immerhin etwa 7mal mehr als ein Zufallsgenerator, der vergleichbar gro\u00dfe Zahlen erzeugt2<\/sup>. Man kann diese Eigenschaft grafisch darstellen. Die Idee dazu ist der \u201ePrimzahlteppich\u201c, eine mathematische Spielerei, die von Bartolom\u00e9, Rung<\/i> und Kern<\/i> in ihrem Buch \u00fcber Zahlentheorie beschrieben wird3<\/sup>.<\/p>\n

 <\/div>\n

\"Euler_Primzahlteppich_01\"<\/a><\/p>\n

Deren Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x<\/i>, y<\/i>) markiert werden, f\u00fcr die beispielsweise die Summe x<\/i> + y<\/i>, das Produkt xy<\/i> oder irgendein anderer Rechenterm T<\/i>(x, y<\/i>) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den von mir gefundenen Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms zu Tage treten l\u00e4sst. Er wird von T<\/i>(x<\/i>, y<\/i>) = x<\/i>2<\/sup> + y<\/i> erzeugt. \u201eNormale\u201c <\/b>Primzahlen sind durch graue Karos gekennzeichnet, Eulersche durch F\u00e4rbung in Magenta hervorgehoben.<\/b> Man erkennt eine H\u00e4ufung der grauen Karos, d. h. der „normalen“ Primzahlen, auf Streifen in Richtung der Haupt- und Nebendiagonalen (und auf einigen Parallelen zur x-<\/i>Achse). Wie erwartet, liegen auch die Eulerschen Primzahlen auf Diagonalen: Der magenta gef\u00e4rbte Streifen, der in der unteren H\u00e4lfte am linken Rand beginnt und unter 45\u00b0 nach rechts unten verl\u00e4uft, entspricht der Gleichung y<\/i> = 41 – x<\/i>. Setzt man dieses y<\/i> in den Term T<\/i>(x<\/i>, y<\/i>) = x<\/i>2<\/sup> + y<\/i>  ein, entsteht das Eulersche Polynom P<\/i>(x<\/i>) =  x<\/i>2<\/sup> – x<\/i> + 41. Ersetzt man x<\/i> durch  – x<\/i>, entsteht P<\/i>(x<\/i>) =  x<\/i>2<\/sup> + x<\/i> + 41. Diesem Polynom entspricht der magentafarbene Streifen, der unter 45\u00b0 nach rechts oben verl\u00e4uft. Die Grafik zeigt, dass beide Streifen f\u00fcr x<\/i> \u2266 40 keine L\u00fccken haben, also ausschlie\u00dflich aus Primzahlen bestehen. F\u00fcr  x<\/i> > 40 ist die \u00fcberdurchschnittlich gro\u00dfe H\u00e4ufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen.<\/p>\n

1<\/sup> Euler, Leonhard<\/i>, zitiert in http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Primzahl.
\n<\/a>2 <\/sup>Hardy,<\/i> Godfrey H.  <\/i>und  John E.<\/i> Littlewood<\/i>,  zitiert in http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Ulam_spiral<\/a>.
\n3<\/sup> Bartolom\u00e9, Andreas<\/i>, Josef Rung<\/i> und Hans Kern<\/i>: Zahlentheorie f\u00fcr Einsteiger (Vieweg 1995). Siehe auch meine eigenen Primzahlteppiche<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Setzt man im Term x2 \u2013 x + 41 nacheinander x = 1, 2, 3, usw. bis x = 40, so erh\u00e4lt man die Zahlen 41, 43, 47, 53, usw. bis 1601, die allesamt Primzahlen sind. Dasselbe gilt f\u00fcr den Term x2 + x + 41 und x = 1, 2, 3, usw. bis x = 39. Das war schon…<\/p>\n

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