{"id":1911,"date":"2016-01-01T10:09:49","date_gmt":"2016-01-01T09:09:49","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=1911"},"modified":"2021-04-18T13:30:50","modified_gmt":"2021-04-18T11:30:50","slug":"2016-pseudovollkommen-und-hexagonal","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=1911","title":{"rendered":"2016 – pseudovollkommen und hexagonal"},"content":{"rendered":"

\"2016_mit_Schlingpflanzen_01\"<\/a>Was hat das Jahr 2016 zu bieten – ich meine in mathematischer Hinsicht? Viel habe ich nicht entdeckt – aber auch nicht sehr eifrig nachgeforscht. Immerhin hat 2016 eine stattliche Anzahl von Teilern. Es sind genau 36, n\u00e4mlich 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 und 2016. Streicht man aus dieser Liste die Zahl 2016, bleiben die echten<\/strong> Teiler. Damit l\u00e4sst sich etwas anfangen: Bildet man die Summe aus den echten Teilern 336, 672 und 1008, erh\u00e4lt man 2016. Auch andere Summen von (echten) Teilern ergeben 2016, z. B. 84 + 252 + 672 + 1008 = 2016. Zahlen, die sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler schreiben lassen, hei\u00dfen pseudovollkommen. <\/strong>Also ist das neue Jahr zwar nicht ganz vollkommen, aber immerhin pseudovollkommen (Vollkommen hei\u00dfen die Zahlen, die gleich der Summe aller<\/span> ihrer echten Teiler sind, Beispiel 6 = 1 + 2 + 3). Auf seine Pseudovollkommenheit kann sich 2016 aber nicht viel einbilden: Es ist n\u00e4mlich durch 6 teilbar – und ein (fast trivialer) Satz der Mathematik besagt, dass alle durch 6 teilbaren Zahlen pseudovollkommen sind. Beweis: Jede Zahl von der Form 6k mit k = 1, 2, 3, … l\u00e4sst sich schreiben als 6k = k + 2k + 3k, so dass jeder der Summanden 6k teilt. In unserem Fall ist k = 336. Also gilt 2016 = 6\u00b7336 = 336 + 2\u00b7336 + 3\u00b7336 =\u00a0 336 + 672 + 1008. Das ist die oben genannte Zerlegung.<\/p>\n

Interessant ist noch, dass 2016 eine Sechseckzahl (Hexagonalzahl<\/strong>) ist. Hexagonalzahlen erh\u00e4lt man, indem man eine Reihe Steine zur Hand nimmt und wie folgt anordnet: Man startet mit einem Stein, legt weitere 5 Steine so an, dass ein Sechseck mit der Seitenl\u00e4nge von 2 Steinen entsteht. Dann verl\u00e4ngert man zwei benachbarte Seiten um je einen Stein und f\u00fcgt weitere 7 Steine so hinzu, dass ein gr\u00f6\u00dferes Sechseck mit der Seitenl\u00e4nge von 3 Steinen entsteht. F\u00e4hrt man in dieser Weise fort, erh\u00e4lt man die Folge der Hexagonalzahlen 1, 6, 15, 28, 45, … . Die zweiunddrei\u00dfigste Zahl in dieser Folge ist 2016. Man kann zeigen, dass die n-te Hexagonalzahl sich als n(2n – 1) schreiben l\u00e4sst. Damit ist 2016 = 32\u00b7(64 – 1).<\/p>\n

Jede Hexagonalzahl ist im \u00dcbrigen auch eine Dreieckszahl<\/b>. Das hei\u00dft, man kann 2016 Steine (in der Ebene) so anordnen, dass sie ein ausgef\u00fclltes gleichseitiges Dreieck bilden. Die Folge der Dreieckszahlen beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, \u2026. Die zugeh\u00f6rigen Dreiecke haben die Seitenl\u00e4ngen 1, 2, 3, 4, usw. Allgemein gilt: Ist die Seitenl\u00e4nge n, enth\u00e4lt das Dreieck n(n + 1)\/2 Steine. Man rechnet leicht nach, dass das Dreieck mit 2016 Steinen die Seitenl\u00e4nge n = 63 hat: 2016 = 63\u00d764\/2<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Was hat das Jahr 2016 zu bieten – ich meine in mathematischer Hinsicht? Viel habe ich nicht entdeckt – aber auch nicht sehr eifrig nachgeforscht. Immerhin hat 2016 eine stattliche Anzahl von Teilern. Es sind genau 36, n\u00e4mlich 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72,…<\/p>\n

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