{"id":2208,"date":"2016-07-18T16:32:15","date_gmt":"2016-07-18T14:32:15","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=2208"},"modified":"2016-12-31T17:26:38","modified_gmt":"2016-12-31T16:26:38","slug":"zahlenteppich","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=2208","title":{"rendered":"Teppiche mit gesiebten Zahlen"},"content":{"rendered":"

Die Themen Primzahlteppiche<\/a> und Eulersches Primzahlpolynom<\/a> besch\u00e4ftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolom\u00e9, Rung<\/i> und Kern<\/i>1<\/sup>. In ihrem Buch \u00fcber Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, f\u00fcr die der Wert des Terms T<\/i>(x, y<\/i>) = x<\/i>2<\/sup> + y<\/i>2<\/sup> eine Primzahl<\/b> ist. Das Muster der Punkte l\u00e4sst zwar keine gro\u00dfe Ordnung erkennen (abgesehen von den trivialen Symmetrien bez\u00fcglich der Koordinatenachsen und des Nullpunkts), ist aber nicht zuf\u00e4llig<\/i>. Variiert man T<\/i>(x, y<\/i>), entstehen andere Grafiken.<\/p>\n

\"RandomPrimeTeppich_02_weiss\"<\/a>(1)\u00a0 Hawkins Primes<\/p>\n

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\"LuckyNumberTeppich_05_weiss\"<\/a>(2)\u00a0 Lucky Numbers<\/p>\n

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\"Primzahlteppich_xxplusy_03\"<\/a>(3)\u00a0 Primzahlen<\/p>\n

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Zahlenteppiche:\u00a0 (1) Random Primes, (2) Lucky Numbers und (3) Primzahlen, siehe Text. Ein Klick auf die Abbildung vergr\u00f6\u00dfert sie.<\/span><\/p>\n

Meine Idee: Ich erweitere den Begriff des Primzahlteppichs auf den des Zahlenteppichs. Zahlenteppiche sind denmach kartesische Koordinatensysteme, in denen diejenigen Punkte (x<\/i>, y<\/i>) markiert werden, f\u00fcr die der Wert eines geeigneten Rechenterms T<\/i>(x, y<\/i>) eine Zahl mit einer beliebigen, vorgegebenen Eigenschaft<\/em> ist. Die Eigenschaft, Primzahl zu sein, w\u00e4re somit ein Spezialfall. W\u00e4hlt man den „richtigen“ Term T<\/i>(x, y<\/i>), so dachte ich, m\u00fcsste es m\u00f6glich sein, interessante Teppichmuster auch f\u00fcr Zahlenmengen zu erzeugen, die sich durch andere Eigenschaften auszeichnen als prim zu sein.<\/p>\n

Ich w\u00e4hle den Term T<\/i>(x, y<\/i>) = x<\/i> + y<\/i>2<\/sup>. Er liefert einen interessanten Primzahlteppich (dargestellt im Artikel Eulersches Primzahlpolynom<\/a>). Die\u00a0 Primzahlen werden bekanntlich durch ein Siebverfahren<\/strong> erzeugt, benannt nach seinem Entdecker Eratosthenes<\/i>. Deshalb liegt es nahe, Zahlen zu testen, die auch durch ein Siebverfahren entstehen. Da gibt es zun\u00e4chst die\u00a0 \u201eGl\u00fccklichen Zahlen\u201c (engl. Lucky Numbers<\/i>2<\/sup>). Sie entstehen durch ein Sieb \u00e4hnlich dem des Eratosthenes. Es streicht aber die Zahlen im Sieb nicht aufgrund ihres Wertes (wie bei Eratosthenes), sondern aufgrund ihrer Position. Als dritte durch Sieben erzeugte Zahlenmenge soll die Folge der Hawkins Primes<\/i>3<\/sup> (oder Random Primes<\/i>) betrachtet werden. Hawkins\u2019 Sieb ist eine nicht-deterministische, vom Zufall gesteuerte Methode, unter den jeweils verbliebenen Zahlen zu streichen. Hier<\/a> eine genaue Beschreibung der drei genannten Siebe.<\/p>\n

Die Teppiche zum Term T<\/i>(x, y<\/i>) = x<\/i> + y<\/i>2<\/sup>, die den genannten Zahlenmengen Primzahlen<\/i><\/strong>, Lucky Numbers<\/em><\/strong> und Hawkins Primes<\/em><\/strong> entsprechen, sind oben dargestellt. Das Ergebnis ist nicht umwerfend (leider), best\u00e4tigt aber unsere intuitive Vorstellung von Ordnung und Chaos in den drei Mengen. Wie erwartet, zeigt der Teppich der Hawkins Primes (Abbildung 1, oben) keinerlei Abweichungen von einer Zufallsverteilung. Die \u201eGl\u00fccklichen Zahlen\u201c (Lucky Numbers) in Abbildung 2 (Mitte) dagegen lassen schon Ketten von Punkten in Richtung der Haupt- und Nebendiagonale erahnen. Im Teppich der Primzahlen (Abbildung 3, unten) schlie\u00dflich sind diese Ketten zahlreicher und l\u00e4nger geworden – jedenfalls deutlich sichtbar. Zwei dieser Ketten entsprechen den Eulerschen Primzahlen x<\/i>2<\/sup> \u00b1\u00a0 x<\/i> + 41, in der Abbildung durch die Farbe Magenta hervorgehoben. F\u00fcr \u00a0x<\/i> < 41 haben sie keine L\u00fccken, bestehen also ausschlie\u00dflich aus Primzahlen. F\u00fcr \u00a0x<\/i> > 40 ist die \u00fcberdurchschnittlich gro\u00dfe H\u00e4ufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen. Die mit gr\u00fcn markierten Primzahlpunkte geh\u00f6ren zu den Termen x<\/i>2<\/sup> \u00b1\u00a0 x<\/i> + 101 bzw. x<\/i>2<\/sup> \u00b1\u00a0 x<\/i> + 107. Siehe, wie schon erw\u00e4hnt, den Beitrag Eulersches Primzahlpolynom<\/a>.<\/p>\n

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1<\/sup>\u00a0 Bartolom\u00e9, Andreas<\/i>, Josef Rung<\/i> und Hans Kern<\/i>: Zahlentheorie f\u00fcr Einsteiger (Vieweg 1995), S.\u00a0 75.
\n2<\/sup>\u00a0 Hawkins, D.<\/em>, Briggs, W.E.<\/em>: The Lucky Number Theorem<\/em>, Mathematics Magazine 31 (1957), 81 – 84, 277 – 280.
\n3<\/sup> \u00a0Hawkins<\/i>, David<\/i>: The Random Sieve<\/i>, Mathematics Magazine 31 (1957), 1 \u2013 3.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die Themen Primzahlteppiche und Eulersches Primzahlpolynom besch\u00e4ftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolom\u00e9, Rung und Kern1. In ihrem Buch \u00fcber Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, f\u00fcr die der Wert des Terms T(x, y) = x2 + y2 eine Primzahl ist. Das Muster der Punkte l\u00e4sst zwar keine gro\u00dfe Ordnung erkennen…<\/p>\n

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