{"id":2417,"date":"2017-01-01T00:00:16","date_gmt":"2016-12-31T23:00:16","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=2417"},"modified":"2017-03-08T08:19:25","modified_gmt":"2017-03-08T07:19:25","slug":"2017-2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=2417","title":{"rendered":"2017 – ein Primzahljahr"},"content":{"rendered":"

\"2017_Jahreszahl_02\"<\/a>2017 \u2013 nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.\u00a0<\/i> 2011 war das letzte Primzahljahr, das n\u00e4chste ist 2027, also erst 10 Jahre sp\u00e4ter. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2\u00b2\u00d73\u00d75 der Primzahlen 2, 3 und 5.<\/p>\n

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schlie\u00dflich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid \u2013 und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 \u00fcbrig l\u00e4sst (2017 = 4\u00d7504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen \u2013 nach Fermat<\/i>\u2019s ber\u00fchmtem Zwei-Quadrate-Satz<\/i>1<\/sup>. Der Satz gilt f\u00fcr alle Primzahlen gr\u00f6\u00dfer als 2. Beispiele: 5 = 2\u00b2 + 1\u00b2, 13 = 3\u00b2 + 2\u00b2, 17 = 4\u00b2 + 1\u00b2. In unserem Fall ist 2017 = 44\u00b2 + 9\u00b2. Also notieren wir:<\/p>\n\n\n\n
2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie l\u00e4sst sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44\u00b2 + 9\u00b2 (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat)<\/i>.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1\/2017. Br\u00fcche, deren Nenner eine Primzahl ist, sind in Kommaschreibweise rein periodische Dezimalbr\u00fcche. Die Anzahl der sich wiederholenden Dezimalstellen hei\u00dft Periodenl\u00e4nge. Der Z\u00e4hler des Bruchs hat keinen Einfluss auf die Periodenl\u00e4nge. Zwei Beispiele: 1\/3 = 0,333333\u2026 hat eine Periode der L\u00e4nge 1, 1\/7 = 0,142857142857\u2026. eine Periode der L\u00e4nge 6. Beim Nenner 7 hat die Periode die maximal m\u00f6gliche L\u00e4nge. Denn beim (schriftlichen) Dividieren durch 7 gibt es h\u00f6chstens 6 verschiedene Reste, die maximal m\u00f6gliche L\u00e4nge ist also der um 1 verminderte Nenner. Nicht alle Primzahl-Nenner erzeugen Perioden gr\u00f6\u00dftm\u00f6glicher L\u00e4nge. Von den 45 Primzahlen kleiner als 200 sind es genau 14, also etwa 30%. Dezimaldarstellungen mit maximal m\u00f6glicher Periodenl\u00e4nge sind also nicht die Regel.<\/p>\n

F\u00fcr Br\u00fcche mit der Primzahl p<\/i> als Nenner ist die Periodenl\u00e4nge die kleinstm\u00f6gliche Zahl m<\/i>, f\u00fcr die 10m<\/sup><\/i> geteilt durch p<\/i> den Rest 1 ergibt. Im Fall p<\/i> = 7 erh\u00e4lt man<\/p>\n

101<\/sup>\/7 =\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a01 Rest 3
\n102<\/sup>\/7 = \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a014 Rest 2<\/b>
\n103<\/sup>\/7 = \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0142 Rest 6
\n104<\/sup>\/7 =\u00a0 \u00a0\u00a01428 Rest 4<\/b>
\n<\/b>105<\/sup>\/7 =\u00a0 \u00a014285 Rest 5
\n106<\/sup>\/7 =\u00a0 142857 Rest 1<\/b><\/b>
\n<\/b><\/p>\n

Der kleinstm\u00f6gliche Exponent m<\/i>, der bei Division von 10m<\/sup><\/i> durch 7 den Rest 1 ergibt, ist demnach 6, in \u00dcbereinstimmung mit 1\/7 = 0,142857142857\u2026 . F\u00fcr den Nenner 2017 ist die Periodenl\u00e4nge ebenfalls maximal, also 2016. Wir halten also als zweite Besonderheit von 2017 fest:<\/p>\n\n\n\n
Der Bruch 1\/2017 hat, als Dezimalzahl geschrieben, die maximal m\u00f6gliche Periodenl\u00e4nge von 2016 Stellen. 2016 ist der kleinste Exponent m<\/i>, der bei Division von 10m<\/sup><\/i> durch 2017 den Rest 1 \u00fcbrig l\u00e4sst.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Damit haben wir immerhin zwei\u00a0 <\/i>bemerkenswerte Eigenschaften der Zahl 2017 festgestellt. F\u00fcr diejenigen, die es genau wissen wollen: Die ersten 2200 Dezimalen von 1\/2017 lauten<\/p>\n

\u00a0 0.00049578582052553296975706494794248884481903817550818046603867\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1294000991571641051065939514129895884977689638076351016360\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9320773425880019831432821021318790282597917699553792761527\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 0203272186415468517600396628656420426375805651958353991075\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 8552305404065443728309370352007932573128408527516113039167\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 0798215171046108081308874566187407040158651462568170550322\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2607833415964303420922161626177491323748140803173029251363\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 4110064452156668319286068418443232523549826474962816063460\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 5850272682201289043133366385721368368864650470996529499256\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3212692117005453644025780862667327714427367377293009419930\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 5899851264253842340109072880515617253346554288547347545860\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1883986117997025285076846802181457610312345066931085770946\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a09509172037679722359940505701536936043629152206246901338621\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 7154189390183440753594447198810114030738720872583044124938\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 0267724343083787803668815071888943976202280614774417451660\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 8824987605354486861675756073376301437778879524045612295488\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3490332176499752107089737233515121467526028755577590480912\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2459097669806643529995042141794744670302429350520575111551\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 8096182449181953396132870599900842835894893406048587010411\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 5022310361923648983639067922657411998016856717897868120971\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 7402082300446207238472979672781358453148239960337134357957\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3624194348041646008924144769459593455627169062964799206742\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 6871591472483886960832920178482895389191869112543381259295\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9841348537431829449677739216658403569657907783837382250867\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 6251859196826970748636588993554784333168071393158155676747\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 6450173525037183936539414972731779871095686663361427863163\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1135349529003470500743678730788299454635597421913733267228\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 5572632622706990580069410014873574615765989092711948438274\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 6653445711452652454139811601388200297471492315319781854238\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9687654933068914229053049082796232027764005949429846306395\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 6370847793753098661378284581060981655924640555280118988596\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9261279127416955875061973227565691621219633118492811105602\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3797719385225582548339117501239464551313832424392662369856\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2221120475954387704511650966782350024789291026276648487853\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2473971244422409519087754090233019335647000495785820525532\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 9697570649479424888448190381755081804660386712940009915716\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 4105106593951412989588497768963807635101636093207734258800\\<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 19831432821021318790282597917699553792761527020327219<\/b><\/p>\n

Wer sich nicht von dem Wust an Ziffern abschrecken l\u00e4sst, erkennt in der viertletzten Zeile den Beginn der zweiten Periode (Ziffernfolge 000495785\u2026).<\/p>\n

 <\/p>\n

1<\/sup> Die Beweisidee des 2-Quadrate-Satzes hat Ian Stewart<\/i> in eine humorvolle Nacherz\u00e4hlung von Charles Dickens\u2019<\/i> \u201eWeihnachtslied in Prosa\u201c (\u201eA Christmas Carol in Prose\u201c) eingebaut: Ian Stewart<\/em> \u201eEin Weihnachtslied in Prosa\u201c, Spektrum der Wissenschaft, Digest: Mathematische Unterhaltungen (2002). Eigene Notizen zu dieser Nacherz\u00e4hlung hier<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

2017 \u2013 nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.\u00a0 2011 war das letzte Primzahljahr, das n\u00e4chste ist 2027, also erst 10 Jahre sp\u00e4ter. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt…<\/p>\n

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