{"id":2444,"date":"2017-02-04T11:18:46","date_gmt":"2017-02-04T10:18:46","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=2444"},"modified":"2021-04-18T13:20:43","modified_gmt":"2021-04-18T11:20:43","slug":"fibonacci-rechtecke","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=2444","title":{"rendered":"Fibonacci-Rechtecke"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Fibonacci_Rechtecke.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignleft size-medium wp-image-2445\" alt=\"Fibonacci_Rechtecke\" style=\"border: 1px solid black;\" src=\"http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Fibonacci_Rechtecke-300x294.jpg\" width=\"300\" height=\"294\" srcset=\"http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Fibonacci_Rechtecke-300x294.jpg 300w, http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Fibonacci_Rechtecke-1024x1005.jpg 1024w, http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Fibonacci_Rechtecke.jpg 1511w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a>Eine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge:<\/p>\n<p>Nimm die Folge (<i>F<sub>n<\/sub><\/i>) =\u00a0 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,\u2026 (<i>n <\/i>= 0, 1, 2 , 3 \u2026) der <i>Fibonacci-<\/i>Zahlen<sup>1<\/sup> und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0\u00d71 = 0, 1\u00d71 = 1, 1\u00d72 = 2, 2\u00d73 = 6, 3\u00d75 = 15, 5\u00d78 = 40, usw. Die Produkte 0, 1, 2, 6, 15, 40, usw. sind die Fl\u00e4cheninhalte der so genannten <i>Fibonacci-Rechtecke<\/i><sup>2<\/sup> mit den Seitenl\u00e4ngen (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), \u2026.\u00a0 Addiere die ersten <i>n<\/i> Fl\u00e4cheninhalte. Dann entsteht die Zahlenfolge (<i>a<sub>n<\/sub><\/i>) =\u00a0 0, 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441, 1155, 3025, \u2026, die <i>Summe<\/i> <i>der Fl\u00e4che der ersten n Fibonacci-Recktecke<\/i><sup>3<\/sup>.\u00a0 In der Abbildung sind die <i>Fibonacci-<\/i>Rechtecke spiralf\u00f6rmig aneinander gelegt. Man erkennt sofort, dass jedes zweite Rechteck die bisher angelegten zu einem Quadrat erg\u00e4nzt. Das hei\u00dft, jedes zweite Glied der Folge (<i>a<sub>n<\/sub><\/i>) ist eine Quadratzahl: 1 = 1<sup>2<\/sup>, 9 = 3<sup>2<\/sup>, 64 = 8<sup>2<\/sup>, 441 = 21<sup>2<\/sup> und 3025 = 55<sup>2<\/sup>, und zwar das Quadrat einer <i>Fibonacci-<\/i>Zahl mit geradem Index: 1<sup>2<\/sup> = <i>F<\/i><sub>2<\/sub><sup>2<\/sup>, 3<sup>2 <\/sup>\u00a0= <i>F<\/i><sub>4<\/sub><sup>2<\/sup>, 8<sup>2 <\/sup>= <i>F<\/i><sub>6<\/sub><sup>2<\/sup>, 21<sup>2 <\/sup>= <i>F<\/i><sub>8<\/sub><sup>2<\/sup>. <a href=\"http:\/\/theissenonline.de\/Mathematik\/Fibonacci_Rechtecke.pdf\">Beweis <\/a> durch vollst\u00e4ndige Induktion.<\/p>\n<p>Die Fibonacci-Rechteck-Spirale ist sicher keine Entdeckung von mir. Ich habe sie aber bisher in der Literatur noch nicht gefunden. Wen es interessiert, zwei kleine Notizen zum Thema: <a href=\"http:\/\/theissenonline.de\/Mathematik\/Fibonacci_Quotient.pdf\">Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt<\/a> und <a href=\"http:\/\/theissenonline.de\/Mathematik\/Formel von Moivre_Binet.pdf\">Formel von Moivre\/Binet<\/a>. Oder wie w\u00e4r&#8217;s mit einem Ausflug in die Lineare Algebra: <a href=\"http:\/\/theissenonline.de\/Mathematik\/Beweis_Binet_Lineare_Algebra.pdf\"> Moivre\/Binet (Beweis mit LA) <\/a>.<\/p>\n<p>&#8230; und da gerade das Stichwort &#8222;Fibonacci&#8220; f\u00e4llt, hier noch ein Nachtrag zur Jahreszahl 2017. Nach Zeckendorf kann jede nat\u00fcrliche Zahl <i>n <\/i>\u00a0&gt; 0\u00a0 eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender <i>Fibonacci-<\/i>Zahlen geschrieben werden. Die Zeckendorf-Zerlegung unserer Jahreszahl ist 2017 = 1597 + 377 + 8 + 1.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><sup>1 <\/sup>\u00a0\u00a0\u00a0 <a href=\"https:\/\/oeis.org\/\">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences<\/a> (A000045)<br \/>\n<sup>2<\/sup>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 a. a. O., (A001654)<br \/>\n<sup>3<\/sup> \u00a0 \u00a0 a. a. O., (A064831)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p class=\"excerpt\">Eine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge: Nimm die Folge (Fn) =\u00a0 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,\u2026 (n = 0, 1, 2 , 3 \u2026) der Fibonacci-Zahlen1 und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0\u00d71 = 0, 1\u00d71 = 1, 1\u00d72 = 2, 2\u00d73 = 6, 3\u00d75 = 15, 5\u00d78 = 40, usw. 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