{"id":270,"date":"2013-07-10T15:40:12","date_gmt":"2013-07-10T15:40:12","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=270"},"modified":"2013-09-04T20:41:56","modified_gmt":"2013-09-04T20:41:56","slug":"arithmetische-primzahlfolgen","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=270","title":{"rendered":"Arithmetische Primzahlfolgen"},"content":{"rendered":"

1.\u00a0\u00a0 Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen<\/b><\/p>\n

Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abst\u00e4nde zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder betr\u00e4gt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zus\u00e4tzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel wenn sie Primzahlen sind. Eine arithmetische Primzahlfolge1<\/sup> mit 5 Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen betr\u00e4gt hierbei jeweils 12. Diese Folge l\u00e4sst sich nicht verl\u00e4ngern, denn das n\u00e4chste Glied m\u00fcsste 65 sein. Diese Zahl aber ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.<\/p>\n

Wie viele Folgeglieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Im Jahre 1923 vermuteten die britischen Mathematiker Hardy<\/i> und Littlewood <\/i>2<\/sup>, dass es keine obere Grenze f\u00fcr diese Zahl gebe. Mehr als 80 Jahre sp\u00e4ter (2004) konnte diese Vermutung von den Mathematikern Green<\/i> und Tao<\/i> 3<\/sup> bewiesen werden: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger L\u00e4nge<\/i>. Au\u00dferdem bewiesen Green<\/i> und Tao<\/i>, dass es zu jeder vorgegebenen L\u00e4nge unendlich viele verschiedene solcher Folgen gibt.\u00a0\u00a0<\/p>\n

 <\/p>\n

2.\u00a0 L\u00e4nge und Schrittweite<\/b><\/p>\n

Die L\u00e4nge einer arithmetischen Primzahlfolge bestimmt den Mindestabstand\u00a0 zwischen den aufeinander folgenden Primzahlen, genannt die (minimale) Schrittweite<\/i> der Folge.
\n<\/b><\/p>\n

Die minimale Schrittweite k <\/i>einer arithmetischen Primzahlfolge der L\u00e4nge m<\/i> ist gleich dem Produkt aller Primzahlen, die kleiner oder gleich m<\/i> sind, oder ein Vielfaches davon. <\/strong>Das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich m<\/i> wird mit m<\/i># (\u201em<\/i> primorial\u201c) bezeichnet. Das hei\u00dft, es ist k<\/i> = m<\/i># (oder ein Vielfaches von m<\/i>#).<\/b><\/p>\n

Bei einer Folge mit m<\/i> = 6 Gliedern beispielsweise muss die Schrittweite mindestens 30 oder ein Vielfaches davon sein. Denn das Produkt 6# aller Primzahlen, die kleiner sind als 6, ist 6# = 5# = 2\u00d73\u00d75 = 30. Sucht man Folgen der L\u00e4nge 10, muss die Schrittweite\u00a0 indestens 10# = 7# = 2\u00d73\u00d75\u00d77 = 210 sein.<\/p>\n

Zum Beweis betrachten wir alle Zahlen p<\/i>i<\/sub> der Folge und die Schrittweite k<\/i> modulo4<\/sup> einer beliebigen Zahl n<\/i>. Die Schrittweite k<\/i> sei nicht durch n<\/i> teilbar, es gelte zum Beispiel k<\/i> = 1 (mod n<\/i>). Dann w\u00fcrde man, ausgehend von p<\/i>1<\/sub> = 1 (mod n<\/i>), nach n<\/i> – 1-maliger Addition von k<\/i> eine Zahl erhalten, die durch n<\/i> teilbar und damit zusammengesetzt w\u00e4re: p<\/i>n<\/sub> = p<\/i>1<\/sub> + (n<\/i> – 1) \u00d7 k<\/i> = 1 + (n<\/i> – 1) \u00d71 = n<\/i> = 0 (mod n<\/i>).<\/p>\n

Ginge man von p<\/i>1<\/sub> = 2 oder gr\u00f6\u00dferen Werten (mod n<\/i>) aus, w\u00fcrde man schon nach n <\/i>– 2 oder weniger Schritten ein Folgeglied erhalten, das durch n<\/i> teilbar w\u00e4re. Dasselbe w\u00e4re der Fall, wenn die Schrittweite k<\/i> gr\u00f6\u00dfer als 1 (mod n<\/i>) w\u00e4re.<\/p>\n

Daher muss die Schrittweite k<\/i> durch die Zahl n<\/i> teilbar sein, wenn man mindestens n<\/i> Folgeglieder erhalten will, die nicht durch n<\/i> teilbar sein sollen. Zum Beispiel muss k<\/i> durch zwei teilbar und damit gerade sein, um nicht nach einem Schritt auf eine durch zwei teilbare Zahl zu sto\u00dfen (Folgen, die mit der Primzahl 2 beginnen, wollen wir nicht betrachten). Entsprechend muss die Schrittweite k<\/i> durch 3 teilbar sein, damit nicht nach sp\u00e4testens zwei Schritten ein durch 3 teilbares Folgeglied entsteht. Ist k<\/i> nicht durch 5 teilbar, erh\u00e4lt man nach sp\u00e4testens 4 Schritten eine durch 5 teilbare Zahl, usw.<\/p>\n

Auch dazu ein Beispiel: Die Schrittweite k<\/i> = 12 ist durch 2 und 3, aber nicht durch 5 teilbar. Wir versuchen, bei der Zahl p<\/i> = 7 beginnend, eine arithmetische Primzahlfolge maximaler L\u00e4nge mit dieser Schrittweite zu konstruieren. Das gelingt uns zun\u00e4chst recht gut, die ersten drei Schritte liefern in der Tat Primzahlen: 7, 19, 31, 43. Aber dann folgt nach dem vierten Schritt, wie vorhergesagt, die durch 5 teilbare Zahl 55.\u00a0 Ein Blick in die modulare Arithmetik erkl\u00e4rt, warum das so sein muss: Modulo 5 geh\u00f6rt die Anfangszahl 7 zur Restklasse 2, die Schrittweite 12 ebenso – denn beide Zahlen ergeben, durch 5 geteilt, den Rest 2. Der erste Schritt f\u00fchrt daher, modulo 5 gerechnet und notiert, zu 2 + 2 = 4 (19 \u00ba 4 mod 5), der zweite Schritt zu 4 + 2 = 6 = 1 (31 \u00ba 1 mod 5), der dritte zu 1 + 2 = 3 (43 \u00ba 3 mod 5) und der vierte zu 3 +2 = 5 = 0. Daher ist die f\u00fcnfte Zahl unserer Folge durch 5 teilbar und nicht prim.<\/p>\n

 <\/p>\n

3.\u00a0 Modulare Primzahlgrafiken<\/b><\/p>\n

Wir wollen die genannten Folgen in einem Gitternetz der nat\u00fcrlichen Zahlen sichtbar machen. Folgen mit der Schrittweite 30 lassen sich in einem solchen Gitter direkt ablesen, wenn man die Zahlen in Zeilen der L\u00e4nge 30 anordnet: In der ersten Zeile die Zahlen 0 bis 29, in der Zeile darunter diejenigen von 30 bis 59, usw. Das ist in Abb. 1 f\u00fcr die nat\u00fcrlichen Zahlen von 0 bis 899 geschehen.<\/p>\n

\"PrimzahlenMod30D\"<\/a><\/p>\n

Abb. 1:\u00a0 Die nat\u00fcrlichen Zahlen von 0 bis 302<\/sup> \u2013 1 = 899 von oben nach unten in Zeilen der L\u00e4nge 30 aufgetragen: Primzahlen sind wei\u00df gekennzeichnet, rot diejenigen Primzahlen, die arithmetische Folgen mit der Schrittweite 30 und der maximal m\u00f6glichen L\u00e4nge 6 bilden. Hervorgehoben sind die Vielfachen von 7 (blau) und 11 (dunkelblau), welche die wei\u00dfen Balken in ihrer L\u00e4nge begrenzen<\/b>. Gr\u00fcn: sonstige Zahlen.<\/b><\/p>\n

Damit in der ersten Spalte links die \u201eglatten\u201c Zehner Platz finden, wurde auch die Null (schwarzes<\/i> Feld links oben) mit aufgenommen. Primzahlen sind wei\u00df<\/i> markiert. Sie kommen, von der ersten Zeile abgesehen, nur in gewissen Spalten der Tabelle vor. Dies sind die Spalten, die keine der Vielfachen von 2, 3 und 5 enthalten. Mehrere wei\u00dfe Felder untereinander entsprechen daher einer arithmetischen Primzahlfolge mit der Schrittweite 30. Die Vielfachen von 7 (blau<\/i>) und 11 (dunkelblau<\/i>) verhindern, dass mehr als sechs wei\u00dfe Felder aneinander grenzen. Alle \u00fcbrigen Zahlen sind durch gr\u00fcne<\/i> Felder dargestellt. Balken mit genau sechs aneinander grenzenden Feldern sind rot<\/i> gekennzeichnet. Sie entsprechen den arithmetischen Primzahlfolgen maximaler<\/i> L\u00e4nge mit der Schrittweite 30.<\/p>\n

Arithmetische Primzahlfolgen mit der Schrittweite 210 sind aus Abbildung 2 ablesbar. Hier sind die nat\u00fcrlichen Zahlen von 0 bis 26459 in Zeilen der L\u00e4nge 210 aufgetragen. Primzahlen (wei\u00df<\/i>) kommen wiederum nur in Spalten vor, die keine<\/i> der Vielfachen von 2, 3, 5 und 7 enthalten. In der rechten oberen Ecke erkennt man einen Balken der L\u00e4nge 10. Er entspricht der arithmetischen Primzahlfolge 199, 409, 619, …, 2089. Primzahlfolgen maximaler L\u00e4nge mit der Schrittweite 210 sind nicht sehr h\u00e4ufig anzutreffen. Die Folge mit dem kleinsten Startwert gr\u00f6\u00dfer als 199 beginnt bei der Primzahl 243051733 und endet nach 10 Schritten bei 243053623.<\/p>\n

\"PrimzahlenMod210B\"<\/a><\/p>\n

Abb. 2:\u00a0 Die nat\u00fcrlichen Zahlen von 0 bis 26459 von oben nach unten in Zeilen der L\u00e4nge 210 aufgetragen. Primzahlen sind wei\u00df gekennzeichnet, Zahlen mit zwei Primteilern blau, Zahlen mit drei Primfaktoren magenta. Hervorgehoben sind die Vielfachen von 11 (rot) und 13 (gr\u00fcn), welche die wei\u00dfen Balken in ihrer L\u00e4nge begrenzen<\/b>.\u00a0 Sonstige Zahlen: schwarz. Der wei\u00dfe Balken in der rechten oberen Ecke entspricht der zehnteiligen arithmetischen Primzahlfolge 199 + 210n mit der Schrittweite 210 und der kleinsten Anfangszahl. Die n\u00e4chste derartige Folge beginnt mit der Primzahl 243051733.<\/b><\/p>\n

Die zeilenweise Anordnung unserer Zahlen hat nat\u00fcrlich einen mathematischen Hintergrund. Dazu betrachten wir nochmals\u00a0 Abb. 1. Die hier untereinander stehenden Zahlen bilden nicht nur arithmetische Folgen mit der Schrittweite 30, sondern haben dr\u00fcber hinaus bei Division durch 30 dieselben Reste. Sie geh\u00f6ren derselben Restklasse<\/i> (modulo<\/i> 30) an. Die in der Spalte unter der 5 stehenden Zahlen 35, 65, 95, … beispielsweise geh\u00f6ren zur Restklasse 5 (ihre Reste bei Division durch 30 sind alle gleich 5). Mit Hilfe des Begriffs modulo<\/i> l\u00e4sst sich die Anordnung der Zahlen in den Abbildungen 1 und 2 kurz mit den Worten beschreiben: \u201eZahlen derselben Restklasse modulo<\/i> 30 bzw. modulo <\/i>210 stehen untereinander\u201c.<\/p>\n

4.\u00a0\u00a0 Warum trifft man Primzahlen nur in einem Teil der Spalten?<\/b><\/p>\n

Unsere modulare Anordnung der Zahlen hatte den Zweck, arithmetische Primzahlfolgen sichtbar zu machen. Wie kommt es dazu, dass sich Primzahlen bei dieser Anordnung nur in gewissen Spalten \u201eaufhalten\u201c? Betrachten wir weiterhin Abb. 1. Die Zahlen einer Spalte bilden, wie schon erw\u00e4hnt, eine arithmetische Folge mit der Schrittweite 30. Beispielsweise stehen unter der 5 in der ersten Zeile die Zahlen 35, 65, 95, … usw. Sie lassen sich alle in der Form 5 + 30n<\/i> mit n<\/i> = 0, 1, 2, …. schreiben. Ist die Zahl in der ersten Zeile m<\/i>, haben alle Zahlen in derselben Spalte die Form m<\/i> + 30n<\/i> (m<\/i>, n<\/i> =\u00a0 0, 1, 2, …). Entscheidend ist jetzt, von welcher Art diese Zahl m<\/i> ist. Ist sie zum Beispiel ein Vielfaches von 2, also m<\/i> = 2k<\/i>\u00a0 (k<\/i> = 1, 2, 3, …), dann stehen in der zugeh\u00f6rigen Spalte Zahlen der Form 2k<\/i> + 30n<\/i>. Da die Zahl 30 die Primfaktoren 2, 3 und 5 enth\u00e4lt (30 = 2\u00d73\u00d75), k\u00f6nnen wir die Zahlen dieser Spalte auch 2k<\/i> + 2\u00d73\u00d75n<\/i>\u00a0 schreiben – und sehen nun, dass sie alle den Faktor 2 enthalten und damit zusammengesetzt sind. Ist m<\/i> in der ersten Zeile durch 3 oder 5 teilbar, also m<\/i> = 3k<\/i> bzw. m<\/i> = 5k<\/i>, lassen sich die Zahlen in den zugeh\u00f6rigen Spalten als 3k<\/i> + 2\u00d73\u00d75n<\/i>\u00a0 bzw. 5k<\/i> + 2\u00d73\u00d75n<\/i>\u00a0 schreiben und sind damit ebenfalls zusammengesetzt. Das hei\u00dft, wir finden in den Spalten, in deren erster Zeile Vielfache von 2, 3 oder 5 stehen, nur zusammengesetzte Zahlen. F\u00fcr die Primzahlen bleiben daher nur diejenigen Spalten \u00fcbrig, in deren erster Zeile Zahlen mit Primfaktoren stehen, die s\u00e4mtlich gr\u00f6\u00dfer als 5 sind, oder eine Primzahl (au\u00dfer 2, 3 und 5) oder die 1 (Eins) steht. Die kleinste Zahl, deren Primfaktoren alle gr\u00f6\u00dfer als 5 sind, ist 49 = 7\u00d77 und kommt in der ersten Zeile nicht vor. Deshalb treten Primzahlen nur in den Spalten auf, in deren erster Zeile selber eine Primzahl oder die 1 steht.<\/p>\n

In Abb. 2 gibt es aus demselben Grund Primzahlen nur in den Spalten, die nicht<\/i> Vielfache von 2, 3, 5, oder 7 sind (210 = 2\u00d73\u00d75\u00d77). Das sind die Spalten, in deren erster Zeile eine zusammengesetzte Zahl steht mit Primfaktoren, die s\u00e4mtlich gr\u00f6\u00dfer als 7 sind, oder eine Primzahl oder die Zahl 1 (Eins). Es gibt unterhalb von 210 nur drei zusammengesetzte Zahlen mit Primfaktoren, die alle gr\u00f6\u00dfer als 7 sind, und zwar 121 (= 11\u00d711), 143 (= 11\u00d713) und 187 (= 11\u00d717). Daher sammeln sich auch in Abb. 2 die Primzahlen zum gro\u00dfen Teil in den Spalten, in deren erster Zeile selber eine Primzahl steht.<\/p>\n

\"PrimzahlenMod89\"<\/a>\"PrimzahlenMod90\"<\/a>\"PrimzahlenMod91\"<\/a><\/p>\n

Abb. 3\u00a0 Die nat\u00fcrlichen Zahlen kleiner als 9000, angeordnet in Zeilen mit 89 Spalten (links), 90 Spalten (Mitte) und 91 Spalten (rechts). Wei\u00df: Primzahlen. W\u00e4hrend sich die Primzahlen in der Anordnung modulo 90 (Mitte) in senkrechten Geraden sammeln, reihen sie sich in den beiden anderen Anordnungen (modulo 89 bzw. modulo 91) auf Geraden unter den Winkeln <\/b>\u00b1<\/b> 45\u00b0 zur Horizontalen auf. Eine \u00e4hnliche Darstellung findet sich in den Bildern der K\u00fcnstlerin Rune Mields <\/i>mit dem Titel\u00a0 Sieb des Eratosthenes III<\/i>\u00a0 <\/b><\/p>\n

Die H\u00e4ufung der Primzahlen auf senkrechten Geraden findet im \u00dcbrigen nur statt, wenn der Modul<\/i> (die Anzahl der Spalten) Primfaktoren ent\u00e4lt, die in vielen zusammengesetzten Zahlen vorkommen. Neben den Zahlen 30 und 210 sind beispielsweise die Module 42 (= 2\u00d73\u00d77), 60 (= 22<\/sup>\u00d73\u00d75), 84 (= 22<\/sup>\u00d73\u00d77) und 90 (= 2\u00d732<\/sup>\u00d75) geeignet. Dass Abweichungen von diesen Werten zu anderen Anordnungen der Primzahlfelder f\u00fchren, zeigt Abb. 3. Sie stellt die nat\u00fcrlichen Zahlen kleiner als 9000 dar, und zwar in den Anordnungen modulo<\/i> 90,\u00a0 modulo<\/i> 89 (Primzahl) und modulo<\/i> 91 (= 7\u00d713). Primzahlen sind wei\u00df<\/i> markiert. In der Anordnung modulo<\/i> 90 gruppieren sie sich, wie erwartet, auf senkrechten Geraden unterhalb der Primzahlen (und unterhalb der Zahlen 1, 49, 77 und 91) in der obersten Zeile. Denn der Modul <\/i>90 enth\u00e4lt die drei Primfaktoren 2, 3 und 5. In den Anordnungen\u00a0 modulo<\/i> 89 (Primzahl) und modulo<\/i> 91 (= 7\u00d713) dagegen reihen sie sich auf Geraden unter\u00a0 \u00b1 45\u00b0 zur Horizontalen auf.<\/p>\n

Eine \u00e4hnliche Darstellung der Primzahlen wie die der Abbildung 3 findet sich in den Bildern der K\u00fcnstlerin Rune Mields <\/i>mit dem Titel\u00a0 \u201eSieb des Eratosthenes III <\/i>\u201c 5<\/sup> – ein Beispiel daf\u00fcr, dass\u00a0 konkret-konstruktivistische Kunst<\/i> 6<\/sup> mathematische Konzepte in eindrucksvoller Weise darzustellen vermag.<\/p>\n

5.\u00a0\u00a0 Bemerkungen\u00a0 <\/b><\/p>\n

Die oben angegebene Formel k<\/i> = m<\/i># f\u00fcr die minimale Schrittweite bei gegebener L\u00e4nge m<\/i> der Folge gilt f\u00fcr m<\/i> > 7. F\u00fcr einige Werte von m<\/i> < 8 gibt es offenbar Ausnahmen:<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 f\u00fcr m<\/i> = 3 w\u00e4re laut Formel k<\/i> = m<\/i># die minimale Schrittweite k<\/i> = 3# = 2\u00d73 = 6. M\u00f6gliche Folgen w\u00e4ren 5, 11, 17 oder 7, 13, 19 oder 11, 17, 23. Es gibt aber Folgen mit k<\/i> = 2, zum Beispiel die mit 3 beginnenden Folgen 3, 5, 7 und 3, 7, 11.<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 F\u00fcr\u00a0 m<\/i> = 5 w\u00e4re k<\/i> = 5# = 2\u00d73\u00d75 = 30, tats\u00e4chlich gibt es jedoch die Folge 5, 11, 17, 23, 29 mit k<\/i> = 6.<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 f\u00fcr m<\/i> = 7 m\u00fcsste sein k<\/i> = 7# =\u00a0 2\u00d73\u00d75\u00d77 = 210, es gibt jedoch eine Folge mit k<\/i> = 150, die bei 7 startet: 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 (das n\u00e4chste Folgeglied 1057 ist zusammengesetzt, 1057 = 7\u00d7151).<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 J. K. Andersen<\/i>7<\/sup> macht dazu folgende Aussage: \u201eThe minimal possible difference in an AP-m<\/i> is conjectured to be m<\/i># for all m<\/i> > 7, proved for m<\/i> \u2264 21 as of 2008.\u201d<\/p>\n

Weicht man von der Vorschrift k<\/i> = m<\/i># ab, w\u00e4hlt zum Beispiel f\u00fcr m<\/i> = 6 eine Schrittweite\u00a0 k<\/i>\u00a0 =\u00a0 2\u00d73\u00d77 = 42\u00a0 (statt k<\/i> = 30), erh\u00e4lt man Folgen, die weniger als 6 Primzahlen enthalten: 5, 47, 89, 173, 215, … oder 7, 49, …, oder 11, 53, 95, …, oder 17, 59, 101, 143, 185.<\/p>\n

In der Literatur bezeichnet man eine arithmetische Primzahlfolge der L\u00e4nge k<\/i> mit APk<\/i>. Die Folge AP<\/i>13 beispielsweise hat eine Schrittweite von 13# = 2\u00d73\u00d75\u00d77\u00d711\u00d713 = 30030 oder ein Vielfaches davon. Die Folge mit dem kleinsten Startwert beginnt bei der Primzahl 14933623, so dass sie in den Tabellen7 <\/sup>als Term 14933623 + 13# \u00d7 n<\/i>,\u00a0 n <\/i>\u00a0= 0…12 aufgef\u00fchrt wird. Die l\u00e4ngste zur Zeit bekannte arithmetische Primzahlfolge ist AP<\/i>26 8<\/sup> : 43142746595714191 + 23681770 \u00b7 23# \u00b7 n<\/i>, f\u00fcr n<\/i> = 0…25.<\/p>\n

 <\/p>\n

Anmerkungen und Literatur<\/h4>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
\u00a0 1<\/sup><\/td>\nEine gut verst\u00e4ndliche Einf\u00fchrung in die Materie ist der Artikel \u201eArithmetische Primzahlfolgen beliebiger L\u00e4nge\u201c von Christoph P\u00f6ppe<\/i>, Spektrum der Wissenschaft, April 2005, S. 114<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 2<\/sup><\/td>\nHardy, G.\u00a0H<\/i>. and Littlewood, J.\u00a0E.<\/i>: Some Problems of\u00a0 ‚Partitio Numerorum.‘ III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes. Acta Math.<\/i> 44<\/b>, 1-70, 1923.<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 3<\/sup><\/td>\nGreen, B. and Tao, T.<\/i>: The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions. Preprint. 8 Apr 2004. http:\/\/arxiv.org\/abs\/math.NT\/0404188<\/a>.<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 4<\/sup><\/td>\nDie (nat\u00fcrliche) Zahl k<\/i> modulo einer beliebigen Zahl n<\/i> ist der Rest, der sich bei der Division von k<\/i> durch n<\/i> ergibt. k<\/i>\u00a0 = 1 (mod n<\/i>) bedeutet daher: Der Rest der Division von k<\/i> durch n<\/i> ist 1 (Eins). Beispiel: Die Zahl 31 ergibt, durch 30 dividiert, den Rest 1. Die mathematisch exakte Schreibweise ist 31 \u2261 1 (mod <\/i>30), gelesen \u201e31 kongruent 1 modulo 30 <\/i>\u201c. Anstelle des Zeichens \u201e \u2261 \u201c kann man aber auch ein Gleichheitszeichen setzen und entsprechend lesen \u201e31 gleich 1 modulo 30 <\/i>\u201c. Den Divisor 30 nennt man in diesem Zusammenhang den Modul<\/i>.<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 5<\/sup><\/td>\nRune Mields:<\/i> \u201eDas Sieb des Eratosthenes III <\/i>\u201c, 1977. Abgebildet in: Guderian, Dietmar<\/i>: Mathematik in der Kunst der letzten 30 Jahre. Ebringen i. Br., Bannstein-Verlag, 1990<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 6<\/sup><\/td>\nGuderian, Dietmar<\/i>: Mathematik in der Kunst der letzten 30 Jahre. Ebringen i. Br., Bannstein-Verlag, 1990<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 7<\/sup><\/td>\nSiehe z. B. Jens Kruse Andersen <\/i>:http:\/\/users.cybercity.dk\/~dsl522332\/math\/aprecords.htm#history<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0 8 <\/sup><\/td>\nEntdeckt am 12. April 2010 von Benoit Perichon<\/i> , siehehttp:\/\/users.cybercity.dk\/~dsl522332\/math\/aprecords.htm<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

1.\u00a0\u00a0 Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abst\u00e4nde zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder betr\u00e4gt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zus\u00e4tzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel…<\/p>\n

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