{"id":283,"date":"2013-09-03T18:59:55","date_gmt":"2013-09-03T18:59:55","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=283"},"modified":"2021-04-18T17:11:23","modified_gmt":"2021-04-18T15:11:23","slug":"mandelbrot-menge-2","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=283","title":{"rendered":"Mandelbrot-Menge"},"content":{"rendered":"

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\"Mandelbrotmenge\"<\/a><\/p>\n

\"Mandelbrot03\"<\/a><\/p>\n

Abb. 1\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Abb. 2<\/p>\n

Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots „Atlas“ der zusammenh\u00e4ngenden Julia-Mengen – genannt „Apfelm\u00e4nnchen“. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gef\u00e4rbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge.\u00a0 Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.<\/p>\n

Zur Mathematik der Juliamengen und der Mandelbrotmenge<\/a>.<\/p>\n

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Die Mandelbrot-Menge ist eine Menge komplexer Zahlen<\/a>, die durch folgenden Rechenprozess entsteht: Betrachte den Term z<\/i>2<\/sup> + c<\/i>, wobei z<\/i> eine komplexe Zahl ist, die sich \u00e4ndern darf (eine Variable), und c<\/i> eine komplexe Zahl ist, deren Wert konstant bleibt. Starte mit der Zahl z<\/i>0<\/sub> = 0 + 0i<\/i> und berechne den Wert des Terms z<\/i>1<\/sub> = z<\/i>0<\/sub>2<\/sup> + c<\/i>. Wegen z<\/i>0<\/sub> = 0 ist z<\/i>1<\/sub> = c<\/i>. Setze diese Zahl erneut in den Term z<\/i>2<\/sup> + c<\/i> ein. Das hei\u00dft, berechne z<\/i>2<\/sub> = z<\/i>1<\/sub>2<\/sup> + c<\/i>. Es ergibt sich z<\/i>2 <\/sub>= c<\/i>2<\/sup> + c<\/i>. Im n\u00e4chsten Schritt erh\u00e4lt man z<\/i>3<\/sub> = z<\/i>2<\/sub>2<\/sup> + c <\/i>= (c<\/i>2 <\/sup>+ c<\/i>)2<\/sup> + c<\/i>, usw. Es entsteht eine Folge von Zahlen z<\/i>0<\/sub>,\u00a0 <\/span>z<\/i>1<\/sub>,\u00a0 <\/span>z<\/i>2<\/sub>,\u00a0 <\/span>z<\/i>3<\/sub>, … . Nennt man das Ergebnis nach dem n<\/i>-ten Schritt z<\/i>n<\/sub>, so ist die (n<\/i> +1)-te Zahl\u00a0 <\/span>z<\/i>n+1<\/sub> = z<\/i>n<\/sub>2<\/sup> + c<\/i>. Da jede Zahl durch R\u00fcckgriff auf die vorherige berechnet wird, spricht man von einer rekursiv<\/i> definierten Folge. Die wiederholte Anwendung der Rekursionsformel<\/i> z<\/i>n+1<\/sub> = z<\/i>n<\/sub>2<\/sup> + c<\/i> nennt man auch Iteration<\/i>. F\u00fcr c<\/i> = 1 + i<\/i> ergibt sich beispielsweise: z<\/i>1<\/sub> = 1 + i<\/i>,\u00a0 <\/span>z<\/i>2<\/sub> = 1 + 3i<\/i>,\u00a0 <\/span>z<\/i>3<\/sub> = –<\/span><\/span>7 + 7i<\/i>,\u00a0 <\/span>z<\/i>4 <\/sub>\u00a0<\/span>= 1 –<\/span><\/span> 97i<\/i>, usw. Man stellt fest, dass Real- und Imagin\u00e4rteil von z<\/i> im Verlauf der Iteration sowohl gr\u00f6\u00dfer als auch kleiner werden und bisweilen das Vorzeichen wechseln. Interessant ist, wie weit sich z<\/i> dabei vom Nullpunkt der komplexen Zahlenebene entfernen. Der Abstand einer komplexen Zahl z<\/i> vom Nullpunkt hei\u00dft Betrag<\/i> dieser Zahl und ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Katheten Real- und Imagin\u00e4rteil sind. Daher gilt nach dem Satz von Pythagoras<\/i> f\u00fcr den Betrag\u00a0 <\/span>|<\/span><\/span>z<\/i>|<\/span><\/span> =\u00a0\u221a<\/abbr>(x<\/i>2<\/sup> + y<\/i>2<\/sup>). Zur Mandelbrotmenge M<\/i> geh\u00f6ren nun alle diejenigen komplexen Zahlen c<\/i>, f\u00fcr die der Betrag von z<\/i>n<\/sub> auch nach unendlich vielen Iterationsschritten nicht \u00fcber alle Grenzen w\u00e4chst. Das hei\u00dft, diejenigen Zahlen c<\/i>, f\u00fcr die der Abstand von Nullpunkt der Folgeglieder z<\/i>n<\/sub> eine (geeignet gesetzte) Grenze nicht \u00fcberschreitet. Tr\u00e4gt man diese Werte von c<\/i> in die komplexe Zahlenebenen ein, ergibt sich ein zusammenh\u00e4ngendes Gebiet, das die Form eines liegenden \u201eApfelm\u00e4nnchens\u201c hat.<\/p>\n

Der Rand diese Gebiets ist ungeheuer formenreich: es gibt Kreise, Spiralen, Schnecken, alle haarfein ver\u00e4stelt und zum Teil in sich verschlungen. Erstaunlich ist, dass der Rand auch bei noch so starker Vergr\u00f6\u00dferung nie glatt wird. Er ist, wie man sagt, ein Fraktal<\/i>. In dem Bereich der Zahlenebene, in dem sich die Werte von c<\/i> befinden, f\u00fcr die z<\/i>n<\/sub> \u00fcber alle Grenzen w\u00e4chst, z\u00e4hlt man die Anzahl der Iterationen, die bis zum \u00dcberschreiten einer (geeignet gesetzten) Grenze ben\u00f6tigt werden. Punkte gleicher Iterationszahl verbindet man miteinander. Auf diese Weise entstehen Linien gleicher \u201eFluchtgeschwindigkeit\u201c. Der Ausschnitt Abb. 2 entspricht dem Intervall [–<\/span><\/span> 0.95; –<\/span><\/span> 0.88333] f\u00fcr den Realteil von c<\/i>, und dem Intervall [–<\/span><\/span> 0.3; –<\/span><\/span> 0.233333] f\u00fcr den Imagin\u00e4rteil von c<\/i>.<\/p>\n

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Abb. 1\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Abb. 2 Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots „Atlas“ der zusammenh\u00e4ngenden Julia-Mengen – genannt „Apfelm\u00e4nnchen“. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gef\u00e4rbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge.\u00a0 Abbildung 2 zeigt ein Beispiel. Zur Mathematik der Juliamengen und der Mandelbrotmenge.<\/p>\n

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