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Die nachfolgende Einf\u00fchrung erkl\u00e4rt kurz, worum es geht. <\/p>\n
Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \u2026 ist vielleicht bekannt. Man startet mit der 1 (Eins), f\u00fcgt noch eine 1 (Eins) hinzu, und bildet das n\u00e4chste Folgeglied, indem man beide addiert. Das ergibt die 2 an der dritten Stelle. Die nachfolgende 3 ist die Summe aus dem Vorg\u00e4nger 2 und dem Vor-Vorg\u00e4nger 1. Und nach diesem Verfahren findet man alle weiteren Zahlen der Folge: Die Zahl x<\/i>n+1<\/sub> an der n <\/i>+1-ten Stelle ist die Summe aus der vorherigen Zahl x<\/i>n <\/sub> <\/span>und der vorvorherigen Zahl x<\/i>n-1<\/sub>. In mathematischer Kurzschrift notiert, hei\u00dft das <\/span>x<\/i>n+1<\/sub> = x<\/i>n<\/sub> + x<\/i>n-1<\/sub>. Die Folge ist \u00fcbrigens nach dem italienischen Mathematiker Fibonacci<\/i> benannt.<\/p>\n Jedes Folgeglied entsteht durch R\u00fcckgriff oder Rekursion<\/i> auf schon berechnete Folgeglieder. Weil in der Fibonacci-Folge jedes Folgeglied nicht nur aus dem Vorg\u00e4nger, sondern auch aus dem Vor-Vorg\u00e4nger berechnet wird, spricht man von einer zweistufigen Rekursion<\/i>. Wir erweitern und ver\u00e4ndern die Rekursionsvorschrift <\/span>x<\/i>n+1<\/sub> = x<\/i>n<\/sub> + x<\/i>n-1<\/sub>, indem wir nicht auf x<\/i>n<\/sub>, sondern auf dessen Quadrat x<\/i>n<\/sub>2<\/sup> zur\u00fcckgreifen, das x<\/i>n-1<\/sub> mit einem Minuszeichen versehen und schlie\u00dflich noch eine (reelle) Konstante c<\/i> hinzuaddieren. Das f\u00fchrt zu der Rekursionsformel x<\/i>n+1<\/sub> = x<\/i>n<\/sub>2<\/sup> \u2013 <\/span>x<\/i>n-1<\/sub> + c<\/i>.<\/p>\n Jetzt wird gerechnet. Welche Zahlen durchl\u00e4uft die Folge f\u00fcr beispielsweise c <\/i>= <\/span>\u2013 2, wenn wir, wie bei Fibonacci, mit einer 1 auf den ersten beiden Pl\u00e4tzen starten? Es sind die Zahlen 1, 1, \u2013 2, 1, 1, \u2013 \u2013 2, 1, 1, \u2013 2, \u2026 , <\/span>eine sich wiederholende Folge mit dem Zyklus [1, 1, \u2013 2]. F\u00fcr c = 0 erh\u00e4lt man 1, 1, 0, \u2013 1, 1, 2, 3, 7, 46, 2109, \u2026. Diese Folge w\u00e4chst \u00fcber alle Grenzen \u2013 sie divergiert, wie man sagt. Setzt man c<\/i> = 0.5, ergibt sich die Folge 1, 1, 0.5, \u2013 0.25, 0.0625, 0.7539, 1.0058, \u2026, wobei die beiden letzten Zahlen N\u00e4herungswerte sind. Diese Folge verh\u00e4lt sich etwas \u201esprunghaft\u201c, gewisserma\u00dfen chaotisch, bleibt aber beschr\u00e4nkt.<\/p>\n Die Beispiele zeigen: Das Verhalten der Folgen ist abh\u00e4ngig vom Wert von c<\/i>. Das l\u00e4sst sich in einem x-y<\/i>-Koordinatensystem demonstrieren. Man tr\u00e4gt dazu die Werte x<\/i>n<\/sub> der Folge in y<\/i>-Richtung auf, und zwar \u00fcber der Stelle, an der in x-<\/i>Richtung das zur Folge geh\u00f6rende c<\/i> steht. Meist tr\u00e4gt man nicht alle Folgewerte auf, sondern nur die ab einer bestimmten Platznummer n<\/i>. Eine solche \u201eEndzustands\u00fcbersicht\u201c wird Feigenbaum<\/i>-Diagramm genannt. Feigenbaum ist ein amerikanischer Mathematiker, der diese Art der Darstellung zum ersten Mal benutzt hat, und zwar bei der Untersuchung der Rekursion x<\/i>n+1<\/sub> = x<\/i>n<\/sub>2<\/sup> <\/span>+ c<\/i>.<\/p>\n Feigenbaum-Diagramm, siehe Text<\/p><\/div>\n Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen \u00e4sthetischen Reiz \u2013 vor allem, wenn man den Punkten je nach ihrer Platznummer verschieden Farben gibt. Meist beschr\u00e4nkt man sich auch auf kleine Ausschnitte des Koordinatensystems. Die Abbildung zeigt beispielsweise Folgewerte, die bei der Rekursion x<\/i>n+1<\/sub> = x<\/i>n<\/sub>2<\/sup> \u2013 <\/span>x<\/i>n-1<\/sub> + c<\/i> entstehen, und zwar im Intervall zwischen xn<\/sub> = 0,99 und xn<\/sub> = 1,01 (y-<\/i>Richtung), und f\u00fcr Parameterwerte c zwischen c<\/i> = 0,28400 und c<\/i> = 0,28408 (x<\/i>-Richtung). Punkte mit Platznummern n<\/i> zwischen 100 und 500 sind rot, diejenigen mit Nummern zwischen 500 und 2000 sind wei\u00df gef\u00e4rbt. Man beachte das Chaos der wei\u00dfen Punkte.<\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Mit Botanik haben Feigenbaum-Diagramme nichts zu tun. Es geht hier um Mathematik. Von Feigenbaum-Diagrammen war schon einmal die Rede, auch von der Mathematik, die diesen Gebilden zugrunde liegt. Heute eine kleine Galerie von (hoffentlich) interessanten Diagrammen. Die nachfolgende Einf\u00fchrung erkl\u00e4rt kurz, worum es geht.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2013\/10\/Chaos-Fenster-Stahlblau-624x641.jpg\")