{"id":5869,"date":"2025-11-04T16:49:28","date_gmt":"2025-11-04T15:49:28","guid":{"rendered":"http:\/\/horstth.de\/?p=5869"},"modified":"2025-11-17T18:37:17","modified_gmt":"2025-11-17T17:37:17","slug":"berechnung-der-feigenbaumkonstante","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/horstth.de\/?p=5869","title":{"rendered":"Berechnung der Feigenbaumkonstante"},"content":{"rendered":"

Die Feigenbaumkonstante ist eine universale Konstante der mathematischen Logistik. Ihr \u201eEntdecker\u201c und Namensgeber ist der US-amerikanische Physiker Mitchell Jay Feigenbaum<\/strong><\/span>. Es geht um das Verhalten der Iterationen xn+1<\/sub> = fr<\/sub>(xn<\/sub>) der logistischen Funktion fr<\/sub>(xn<\/sub>) = rxn<\/sub>(1 \u2013 xn<\/sub>). Der Verlauf der Grenzwerte von xn+1<\/sub> = fr<\/sub>(xn<\/sub>) f\u00fcr n\u2192unendlic<\/span>h<\/span><\/span>, aufgetragen in Abh\u00e4ngigkeit des Parameters r, hei\u00dft Bahn der logistischen Funktion. Abbildung 1 zeigt diese Bahn f\u00fcr 1 < r < 4. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie an der Stelle r = 3 in zwei Gabelzinken aufspaltet und diese Aufspaltung (Bifurkation) sich bei h\u00f6heren Werten von r mehrmals fortsetzt. Bei jeder Gabelung verdoppelt sich die Anzahl der \u00c4ste (Perioden) der Bahn und die Bifurkationsstellen r\u00fccken n\u00e4her aufeinander zu. Bei etwa r = 3,56 geht die Bahn in ein Gebiet \u00fcber, in dem sie viele unregelm\u00e4\u00dfige Werte annimmt. Dieses ist das Gebiet des Chaos.
\n\"\"<\/a><\/p>\n

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Abbildung 1: Bahn der logistischen Funktion im Intervall [1,4]. Die Bahn ist der Grenzwert der Iteration xn+1<\/sub> = fr<\/sub>(xn<\/sub>) f\u00fcr n\u2192unendlich. Er ist in y-Richtung aufgetragen. In x-Richtung steht als unabh\u00e4ngige Gr\u00f6\u00dfe der Parameter r. Die Bahnwerte beginnen sich bei r = 3 in zwei Gabelzinken aufzuspalten. Diese Aufspaltung (Bifurkation) erfolgt danach mehrmals \u2013 bis bei etwa r = 3,56 das Chaos erreicht wird.<\/span><\/p>\n

Die Werte ri<\/sub> der ersten Bifurkationsstellen sind in Tabelle 1 in Spalte 2 aufgef\u00fchrt. F\u00fcr i\u2192unendlich<\/span><\/span> streben sie gegen einen Grenzwert, der Feigenbaumpunkt hei\u00dft. Er liegt in etwa dort, wo das Chaos einsetzt. Die Feigenbaumkonstante \u03b4 hingegen ist der Grenzwert der Quotienten  \u03b4i<\/sub> = (ri+1<\/sub> \u2013 ri<\/sub>)\/(ri+2<\/sub> \u2013 ri+1<\/sub>) f\u00fcr i \u2192unendlich. Spalte 3 der Tabelle 1 zeigt die Quotienten \u03b4i<\/sub> f\u00fcr i \u2264 5. Die Zahl \u03b44<\/sub> = 4,6686\u2026. kommt dem Grenzwert der Feigenbaumkonstante schon recht nahe. <\/span><\/p>\n


\n<\/span>Tabelle 1<\/span><\/strong>
\n=============================<\/span><\/strong>
\n   i      ri<\/sub>          \u03b4i-1<\/sub>
\n————————————————————————————–
\n   1   3,0000000    –<\/span>
\n   2   3,4494897   4,7514<\/span>
\n   3   3,5440903   4,6562<\/span>
\n   4   3,5644073   4,6683<\/span>
\n   5   3,5687594   4,6686<\/span>
\n=============================<\/span>   <\/sub><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n

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Der genaue Grenzwert \u03b4  <\/em>l\u00e4sst sich nur mit einem N\u00e4herungsverfahren bestimmen \u2013 eine mathematisch aufw\u00e4ndige Sache. Feigenbaum war genial: er benutzte einen einfachen Taschenrechner um ihren Wert zu berechnen. Wir nehmen dazu einen Computer zur Hand.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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\nAbbildung 2:  Schematische Skizze der Bahn. Die Bifurkationsstellen sind mit r1<\/sub>,r2<\/sub>,r3<\/sub>, \u2026 bezeichnet.<\/span>
\nZur Berechnung der Feigenbaumkonstanten benutzt man die Werte der superstabilen Stellen R1<\/sub>, R2<\/sub>, R3<\/sub>, \u2026 .<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Das N\u00e4herungsverfahren benutzt die Tatsache, dass es zwischen zwei Bifurkationsstellen immer auch eine Stelle gibt, an denen die Iteration xn+1<\/sub> = fr<\/sub>(xn<\/sub>) so genannte superstabile Fixpunkte besitzt. In Abbildung 2 sind diese Stellen mit R1,, R2, R3, \u2026 bezeichnet (die Bifurkationsstellen mit r1, r2, r3, \u2026). Da die Werte der superstabilen Stellen zwischen jeweils zwei aufeinander folgenden Bifurkationsstellen eingeschlossen sind, haben beide Zahlenfolgen denselben Grenzwert. Zur Berechnung der Feigenbaumkonstante benutzt man die Werte der superstabilen Stellen R1,, R2, R3, \u2026 .<\/p>\n

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Tabelle 2<\/span><\/strong>
\nN\u00e4herungswerte f\u00fcr den Feigenbaumpunkt \u03b1 (Spalte rN) und die Feigenbaumkonstante  \u03b4 (Spalte deltaN1).
\nMit n werden die N\u00e4herungsschritte gez\u00e4hlt, nr ist die Anzahl der Versuche, den superstabilen Punkt zu treffen<\/span><\/strong><\/p>\n

==============================================<\/span><\/span><\/strong>
\n n          rN          nr      deltaN1<\/span><\/span><\/strong>
\n—————————————————————————————————————————————-<\/span><\/span><\/strong>
\n  0   2,0000000000000            –
\n<\/span>  1   3,2360679774998      4,0000000000000     <\/span><\/span><\/strong>
\n  2   3,4985616993277  6   4,7089430135405<\/span><\/span><\/strong>
\n  3   3,5546408627688  4   4,6807709980107<\/span><\/span><\/strong>
\n  4   3,5666673798563  4   4,6629596111141<\/span><\/span><\/strong>
\n  5   3,5692435316371  3   4,6684039259180<\/span><\/span><\/strong>
\n  6   3,5697952937499  3   4,6689537409485<\/span><\/span><\/strong>
\n  7   3,5699134654223  3   4,6691571814003<\/span><\/span><\/strong>
\n  8   3,5699387742333  2   4,6691910032120<\/span><\/span><\/strong>
\n  9   3,5699441946081  2   4,6691994611323<\/span><\/span><\/strong>
\n 10   3,5699453554865  2   4,6692011701107<\/span><\/span><\/strong>
\n 11   3,5699456041111  1   4,6692017591474<\/span><\/span><\/strong>
\n==============================================<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n

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Die Mathematik des N\u00e4herungsverfahrens \u2013 und insbesondere die Bedeutung der superstabilen Fixpunkte der Iteration xn+1<\/sub> = fr<\/sub>(xn<\/sub>) \u2013 wird hier<\/a> beschrieben. Das zugeh\u00f6rige (Java-)Computerprogramm ist nur wenige Zeilen lang. Seine numerische Genauigkeit betr\u00e4gt etwa 10\u201314<\/sup> . Mit dem Programm wurden die N\u00e4herungsschritte in Tabelle 2 berechnen. Der Literaturwert der Feigenbaumkonstante ist  \u03b4 = 4,669201609102990\u2026 . Man erkennt, dass die N\u00e4herungen bis etwa n = 10 dem Literaturwert zustreben, danach sich aber von ihm weg bewegen.<\/p>\n

 <\/p>\n

Literatur:
\nM. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978).
\nM. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 219, 665 (1978).
\nD. Kartofelev: Nonlinear Dynamics, Lecture Notes #11, Feigenbaum’s Analysis of Period Doubling,  
\nwww.tud.ttu.ee\/web\/dmitri.kartofelev\/YFX1560\/LectureNotes_11.pdf<\/a>.
\nJ. H- Sylvester: Die logistische Abbildung, Das Feigenbaum-Szenario, Seminarvortrag,
\nwww.math.uni-hamburg.de\/home\/lauterbach\/scripts\/seminar03\/sylvester.<\/a>
\nHein-Otto Peitgen, Hartmut J\u00fcrgens und Dietmar Saupe: Fractals for the Classroom, New York, 1992,   Band 2, S. 224 ff.
\nN. Grzech: Die logistische Gleichung als ein Beispiel f\u00fcr chaotische Prozesse in der Physik, Examensarbeit, Universit\u00e4t Rostock,
\nwww.wsf.uni-rostock.de\/examensarbeit.pdf.<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die Feigenbaumkonstante ist eine universale Konstante der mathematischen Logistik. Ihr \u201eEntdecker\u201c und Namensgeber ist der US-amerikanische Physiker Mitchell Jay Feigenbaum. Es geht um das Verhalten der Iterationen xn+1 = fr(xn) der logistischen Funktion fr(xn) = rxn(1 \u2013 xn). Der Verlauf der Grenzwerte von xn+1 = fr(xn) f\u00fcr n\u2192unendlich, aufgetragen in Abh\u00e4ngigkeit des Parameters r, hei\u00dft Bahn der logistischen Funktion. Abbildung…<\/p>\n

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