![\"QuadratSummenMod17A\"](\"http:\/\/horstth.de\/wp-content\/uploads\/2013\/12\/QuadratSummenMod17A.jpg\")
<\/a>Zum Gitterpunktsatz<\/p><\/div>\n
\u00a0Pierre de Fermat<\/i><\/strong> entdeckte, dass Primzahlen gr\u00f6\u00dfer als 2 sich genau dann in eine Summe aus zwei Quadraten zerlegen lassen, wenn sie sich in der Form 4n<\/i> + 1 (n<\/i> \u2208\u00a0<\/span><\/span> N <\/b><\/i>) darstellen lassen \u2013 oder, als Satz formuliert: Eine Primzahl p<\/i> gr\u00f6\u00dfer als 2 l\u00e4sst sich dann und nur dann in eine Summe aus zwei Quadratzahlen zerlegen, wenn sie bei der Division durch 4 den Rest 1 l\u00e4sst, wenn also gilt\u00a0 p<\/i> \u2261 1 (mod<\/i> 4).\u00a0<\/i>Beispiele: 5 = 12<\/sup>+ 22<\/sup> oder 13 = 22<\/sup>+ 32<\/sup>. Der Satz ist unter dem Namen Zwei-Quadrate-Satz<\/strong> in die Geschichte der Zahlentheorie eingegangen und, wie man liest, eines der Highlights dieser Disziplin. Ian<\/i> Stewart<\/i> hat den Beweis dieses Satzes in eine humorvolle \u201eNacherz\u00e4hlung\u201c von Charles Dickens <\/i>\u201eEin Weihnachtslied in Prosa\u201c (A Christmas Carol in Prose<\/i>) eingebettet1<\/sup>.<\/p>\n Er greift dabei, wie vielfach \u00fcblich, auf einen weiteren ber\u00fchmten Satz der Mathematik zur\u00fcck, den Minkowskischen Gitterpunktsatz<\/strong>. Der ist an Anschaulichkeit nicht zu \u00fcbertreffen und verlangt geradezu danach, computergrafisch dargestellt zu werden. Ich konnte nicht widerstehen und habe einige Computerzeichnungen in Anlehnung an den Artikel von Stewart programmiert. Die Abbildung zeigt ein Beispiel.<\/p>\n Der Gitterpunktsatz lautet: Sei L<\/em> = {(x<\/i>, y<\/i>)\u2208<\/span><\/i> Z<\/i>2<\/sup>} ein Gitter in der xy-Ebene. Ist G<\/i> \u2208<\/span><\/i> R<\/i>2<\/sup> ein konvexes Gebiet, das symmetrisch zum Ursprung (0, 0) liegt und dessen Fl\u00e4cheninhalt mindestens das Vierfache der Fl\u00e4che einer Gittermasche betr\u00e4gt, dann liegt innerhalb von G<\/i> mindestens ein weiterer Punkt (x<\/i>, y<\/i>) des Gitters L<\/em>. Die Abbildung zeigt ein Beispiel: Die roten und blauen Karos bilden je ein G<\/span>itter, f\u00fcr deren Gitterpunkte (x, y) der Term x2<\/sup> + y2<\/sup> ein Vielfaches der Primzahl 17 ist. Im Fall des roten Karos (5,3) beispielsweise ist x2<\/sup> + y2<\/sup> = 52<\/sup> + 32<\/sup> = 34 = 2\u00b717. Der Fl\u00e4cheninhalt einer Masche des Gitters betr\u00e4gt, wie man leicht nachz\u00e4hlt, 17 Einheits-K\u00e4stchen. Der Kreis um den Ursprung in der linken unteren Ecke hat den Radius 5, sein Fl\u00e4cheninhalt ist also 25\u03c0<\/em> – das ist n\u00e4herungsweise 78,53. Er ist damit gr\u00f6\u00dfer als das Vierfache der Maschenfl\u00e4che des Gitters: 4\u00b717 = 68. Nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski gibt es dann mindestens einen vom Ursprung verschiedenen Gitterpunkt, der innerhalb des Kreises liegt. Im ersten Quadranten sind es aus Symmetriegr\u00fcnden sogar zwei Punkte (siehe Abbildung). 1<\/sup> Ian Stewart<\/i>: \u201eEin Weihnachtslied in Prosa\u201c<\/strong>, Spektrum der Wissenschaft \u2013 Digest: Mathematische Unterhaltungen (2002?)<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" \u00a0Pierre de Fermat entdeckte, dass Primzahlen gr\u00f6\u00dfer als 2 sich genau dann in eine Summe aus zwei Quadraten zerlegen lassen, wenn sie sich in der Form 4n + 1 (n \u2208\u00a0 N ) darstellen lassen \u2013 oder, als Satz formuliert: Eine Primzahl p gr\u00f6\u00dfer als 2 l\u00e4sst sich dann und nur dann in eine Summe aus zwei Quadratzahlen zerlegen, wenn…<\/p>\n
\nHier ist meine Nacherz\u00e4hlung <\/a><\/span> der Nacherz\u00e4hlung von Stewart.<\/p>\n