Auf dem Umweg zum Ziel

CIMG2815Auch der Umweg führt zum Ziel –  wenn er kein Abweg ist. Einmal angekommen, kann man behaupten, man hätte den direkten Weg genommen. Das kann eine Welle nicht. Sie kommt nämlich, da der Umweg länger als der direkte Weg ist, mit einer anderen Phase am Ziel an als die direkte Welle. Das setzt natürlich voraus, dass beide Wellen zur gleichen Zeit und mit der gleichen Anfangsphase starten. Die Phasendifferenz zwischen Umweg- und direkter Welle drückt man üblicherweise als Winkel zwischen 0° und 360° aus (zwischen 0 und 2π, wenn man im Bogenmaß rechnet). Ist sie 2π oder ein Vielfaches davon, sind beide Wellen im Takt und verstärken sich. Sie können sich aber auch auslöschen. In diesem Fall ist die Phasendifferenz nur halb so groß (π oder ein Vielfaches davon) und Wellenberg und -tal am Ziel treffen aufeinander. Je nach Längendifferenz zwischen direktem und Umweg beobachtet man dort, wo die Wege wieder zusammentreffen, auch Werte zwischen maximaler minimaler Schallintensität. Aus dem Verlauf des Schallpegels als Funktion der Weglängendifferenz lässt sich die Schallgeschwindigkeit bestimmen. Hier Messungen dazu. Das Foto zeigt die Messapparatur.

Das geht ins Auge

3D_Plot_Bs(x,y)_neu_02Eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Physik 2005 (Sekundarstufe 1)1: Die Nachwuchsphysikerin Josefine soll ihr Auge, durch eine Sammellinse vergrößert, in einem Spiegel betrachten. Sie findet zwei verschiedene Möglichkeiten, ihr eigenes Auge vergrößert zu sehen – einmal als aufrecht stehendes, das andere Mal als umgekehrtes Bild. Für beide Fälle soll sie den Strahlengang konstruieren.

Einfache Sache, denkt der Profi. Einige Linsen und ein Spiegel sind schnell beschafft, dann beginnt das Herumprobieren. Das führt zu nichts, weil er keinen Plan hat. Er konstruiert aufs Geratewohl einige Strahlengänge. Auch das verschafft nicht die nötige Übersicht. Also muss etwas Theorie her. Dabei ergibt sich die Frage, wie man die Vergrößerung definiert. Zumindest dann, wenn man die Linse als Lupe benutzt.

Beim Experimentieren, jetzt etwas systematischer, stellt sich heraus, dass man sich beschränken sollte. Nämlich auf die Betrachtung mit entspanntem (auf Unendlich eingestelltem) Auge. Anderenfalls ist es schwierig, Experiment und Theorie zu vergleichen. Hier ein kleiner Beitrag zu diesem Problem.

Die Bildgröße BS ist abhängig davon, wie weit das Auge von der Linse entfernt ist (y) und welchen Abstand der Spiegel von der Linse hat (x). Die Abbildung ist eine 3D-Darstellung der Funktion BS(x, y). Mit entspanntem Auge beobachtet man in der Nähe der steilen „Wände“, das sind die Polstellen bzw. Polkurven von BS.

1  MNU-Zeitschrift 58/6 (1.9.2005)

Fibonacci-Rechtecke

Fibonacci_RechteckeEine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge:

Nimm die Folge (Fn) =  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… (n = 0, 1, 2 , 3 …) der Fibonacci-Zahlen1 und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0×1 = 0, 1×1 = 1, 1×2 = 2, 2×3 = 6, 3×5 = 15, 5×8 = 40, usw. Die Produkte 0, 1, 2, 6, 15, 40, usw. sind die Flächeninhalte der so genannten Fibonacci-Rechtecke2 mit den Seitenlängen (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), ….  Addiere die ersten n Flächeninhalte. Dann entsteht die Zahlenfolge (an) =  0, 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441, 1155, 3025, …, die Summe der Fläche der ersten n Fibonacci-Recktecke3.  In der Abbildung sind die Fibonacci-Rechtecke spiralförmig aneinander gelegt. Man erkennt sofort, dass jedes zweite Rechteck die bisher angelegten zu einem Quadrat ergänzt. Das heißt, jedes zweite Glied der Folge (an) ist eine Quadratzahl: 1 = 12, 9 = 32, 64 = 82, 441 = 212 und 3025 = 552, und zwar das Quadrat einer Fibonacci-Zahl mit geradem Index, also 12 = F22, 32  = F42, 82 = F62, 212 = F82. Mehr (Beweis) dazu.  Weitere Notizen zur Fibonacci-Folge: Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt und Formel von Moivre/Binet .

… und da gerade von der Fibonacci-Folge die Rede ist, hier noch ein Nachtrag zur Jahreszahl 2017. Nach Zeckendorf kann jede natürliche Zahl n  > 0  eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden. Die Zeckendorf-Zerlegung unserer Jahreszahl ist 2017 = 1597 + 377 + 8 + 1.

 

1     The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (A000045)
2     a. a. O., (A001654)
3     a. a. O., (A064831)

Kacheln

Kachel_Olbrich_Haus_04Die Stadt Darmstadt bemüht sich um die Anerkennung ihrer Künstlerkolonie Mathildenhöhe als UNESCO-Weltkulturerbe. Dabei wird sie von vielen Seiten unterstützt, u. a. auch vom Verein der Freunde der Mathildenhöhe e.V. Der feierte am 10. Januar 2017 sein 10-jähriges Bestehen. Ich bin Mitglied in diesem Verein und nahm das zum Anlass, mich wieder einmal mit Jugendstil-Ornamenten zu beschäftigen. Bei der Suche nach Vorlagen für eigene “künstlerische Versuche” stieß ich (nicht ganz zufällig) auf das Muster der blau-weißen Kacheln am Haus Olbrich (Abbildung links). Die ersten “Versuche” waren Farbbdrucke mit Schablonen – in keiner Weise originell.

Motiv_Variation_Kachel_Olbrich_Haus_neu_02 Enttäuschung und Frust führten zu einer etwas gewagteren Interpretation des Kachelmusters.

 

 

2017 – ein Primzahljahr

2017_Jahreszahl_022017 – nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.  2011 war das letzte Primzahljahr, das nächste ist 2027, also erst 10 Jahre später. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2²×3×5 der Primzahlen 2, 3 und 5.

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schließlich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid – und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 übrig lässt (2017 = 4×504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen – nach Fermat’s berühmtem Zwei-Quadrate-Satz1. Der Satz gilt für alle Primzahlen größer als 2. Beispiele: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1². In unserem Fall ist 2017 = 44² + 9². Also notieren wir:

2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie lässt sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44² + 9² (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat).

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1/2017.

“Gefühl ist alles; Name ist Schall und Rauch “

CIMG0021Faust windet sich, als Gretchen ihn nach seiner Religion fragt. Kann man verstehen. Aber den Schall zur Begründung seiner Ausflüchte  heranzuziehen, ist ein Missgriff, den wir Physiker ihm nicht verzeihen. Immerhin ist die Lehre vom Schall, in der Branche Akustik genannt, ein wichtiges Gebiet der Physik. Denn der Schall macht überall dort, wo er sich ausbreitet, die Welle – in der Luft, im Wasser, im Festkörper, im Nierensteinzertrümmerer (als Stoßwelle) und wer weiß wo.

Hier geht es um die Welle in der Luft – genauer gesagt, um mehrere  Wellen. In unserem Fall werden sie von zwei Lautsprechern abgestrahlt und überlagern sich. Sie interferieren, wie man sagt. Dabei verstärken sie sich oder löschen sich gegenseitg aus. Das Foto zeigt eine Messanordnung, mit der man die Interferenz von Schallwellen in Luft zeigt. Mehr davon hier.

Kriechen und Schwingen …

Galvanometer_02… kann es recht gut, soll es aber nicht. Es soll sich genau auf der Grenze zwischen Kriechen und Schwingen bewegen – nämlich im aperiodischen Grenzfall. Die Rede ist vom Galvanometer, einem physikalischen Messinstrument für kleine Stromstärken (Mikro-Ampere). Im aperiodischen Grenzfall bewegt sich sein Zeiger in der kürzest möglichen Zeit auf den Messwert zu.

Der Physiker kennt das Galvanometer aus dem physikalischen Grundpraktikum. Bei uns Studenten galt der Versuch als hardcore physics. Uns fehlte die Mathematik dazu (die wurde erst in höheren Semesetern serviert) und meist auch die Zeit für die Vorbereitung.

Das Instrument ist ein Fossil aus dem analogen Zeitalter. Ich entdeckte ein Exemplar kürzlich in der Sammlung meiner ehemaligen Arbeitsstätte. Es funktionierte noch, ich habe es geprüft. Hier das Ergebnis. Auch die Bewegungsgleichung des Torsionszeigers habe ich mir noch einmal angesehen: Er kriecht und schwingt tatsächlich.

Regenbogen im Canyon

Regenbogen_Gand_Canyon_2014_MNoch ein Beitrag zum Thema Regenbogen:

Wir stehen mit dem Rücken zur Sonne und vor uns regnet es. Am Himmel sehen wir einen Regenbogen. Muss der immer am Himmel stehen? Das Foto zeigt: Er kann sich auch tief unten in den Grand Canyon verkriechen. Physik und Geometrie erklären das. Wer es genauer wissen will, muss noch einmal zur Schule – in den Physikunterricht:

Es ist gegen Mittag und die Sonne steht hoch am Himmel – das ist im Sommer in Arizona so üblich. Wir denken uns die Gerade, die die Sonne mit unserem eigenen Standort verbindet, und verlängern sie in der Richtung, in die wir blicken. Sie trifft, wo immer wir sie enden lassen wollen, auf einen imaginären Punkt, den Sonnengegenpunkt (engl. antisolar point). Der liegt schon ziemlich tief im Canyon. Die Gerade ist die Achse eines Kegels mit dem Öffnungswinkel 42°. Unter diesen Winkel relativ zur Kegelachse (oder relativ zum Sonnengegenpunkt) erscheint der Bogen. Warum immer 42°, egal wie und wann wir ihn sehen? Das ist eine Frage an die Physik. Die sagt, dass wir nur einen einzelnen Wassertropfen betrachten brauchen, um den Regenbogen zu verstehen. Ein Sonnenstrahl wird beim Eintritt in ihn gebrochen, im Innern reflektiert, und am Austritt wiederum gebrochen. Wie, das sagen uns Brechungs- und Reflexionsgesetz. Rechnen wir alles unter Beachtung dieser Gesetze durch, erhalten wir den genannten Öffnungswinkel 42°. Aber nur für eine der Farben, die im Sonnenlicht vertreten sind. Ist z. B. Rot die Farbe, die unter 42° erscheint (der genaue Winkel hängt etwas von der Tropfengröße ab), sieht man das Violett am anderen Rand des Bogens unter einem etwa 2° kleineren Winkel.

Wenn der Sonnengegenpunkt schon sehr tief unter uns liegt, wie hier bei hochstehender Sonne, hat der Kegelmantel (Regenbogen) bei einem Öffnungswinkel von 42° keine Chance, über den Horizont heraus zu ragen und sich am Himmel auszubreiten. Allerdings muss es tief unter uns, wie hier im Canyon, auch regnen.

Theoretische Überlegungen zum Regenbogen gibt es seit dem Mittelalter. Einen Überblick bis zu den Arbeiten des 19. Jahrhunderts (Airy ) liefert J. D. Jackson: From Alexander of Aphrodisias to Young and Airy, Physics Reports 320 (1999), 27 – 36. Ich habe zu diesem Artikel Notizen gemacht: Bemerkungen, Neben- und Zwischenrechnungen, um ihn für mich verständlich zu machen. Mein Regenbogen-Modellexperiment mit einem Acrylglaszylinder statt Wassertropfen ist vielleicht auch von Interesse.

 

 

Teppiche mit gesiebten Zahlen

Die Themen Primzahlteppiche und Eulersches Primzahlpolynom beschäftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolomé, Rung und Kern1. In ihrem Buch über Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, für die der Wert des Terms T(x, y) = x2 + y2 eine Primzahl ist. Das Muster der Punkte lässt zwar keine große Ordnung erkennen (abgesehen von den trivialen Symmetrien bezüglich der Koordinatenachsen und des Nullpunkts), ist aber nicht zufällig. Variiert man T(x, y), entstehen andere Grafiken.

RandomPrimeTeppich_02_weiss(1)  Hawkins Primes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LuckyNumberTeppich_05_weiss(2)  Lucky Numbers

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Primzahlteppich_xxplusy_03(3)  Primzahlen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zahlenteppiche:  (1) Random Primes, (2) Lucky Numbers und (3) Primzahlen, siehe Text. Ein Klick auf die Abbildung vergrößert sie.

Meine Idee: Ich erweitere den Begriff des Primzahlteppichs auf den des Zahlenteppichs. Zahlenteppiche sind denmach kartesische Koordinatensysteme, in denen diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die der Wert eines geeigneten Rechenterms T(x, y) eine Zahl mit einer beliebigen, vorgegebenen Eigenschaft ist. Die Eigenschaft, Primzahl zu sein, wäre somit ein Spezialfall. Wählt man den “richtigen” Term T(x, y), so dachte ich, müsste es möglich sein, interessante Teppichmuster auch für Zahlenmengen zu erzeugen, die sich durch andere Eigenschaften auszeichnen als prim zu sein.

Ich wähle den Term T(x, y) = x + y2. Er liefert einen interessanten Primzahlteppich (dargestellt im Artikel Eulersches Primzahlpolynom). Die  Primzahlen werden bekanntlich durch ein Siebverfahren erzeugt, benannt nach seinem Entdecker Eratosthenes. Deshalb liegt es nahe, Zahlen zu testen, die auch durch ein Siebverfahren entstehen. Da gibt es zunächst die  „Glücklichen Zahlen“ (engl. Lucky Numbers2). Sie entstehen durch ein Sieb ähnlich dem des Eratosthenes. Es streicht aber die Zahlen im Sieb nicht aufgrund ihres Wertes (wie bei Eratosthenes), sondern aufgrund ihrer Position. Als dritte durch Sieben erzeugte Zahlenmenge soll die Folge der Hawkins Primes3 (oder Random Primes) betrachtet werden. Hawkins’ Sieb ist eine nicht-deterministische, vom Zufall gesteuerte Methode, unter den jeweils verbliebenen Zahlen zu streichen. Hier eine genaue Beschreibung der drei genannten Siebe.

Die Teppiche zum Term T(x, y) = x + y2, die den genannten Zahlenmengen Primzahlen, Lucky Numbers und Hawkins Primes entsprechen, sind oben dargestellt. Das Ergebnis ist nicht umwerfend (leider), bestätigt aber unsere intuitive Vorstellung von Ordnung und Chaos in den drei Mengen. Wie erwartet, zeigt der Teppich der Hawkins Primes (Abbildung 1, oben) keinerlei Abweichungen von einer Zufallsverteilung. Die „Glücklichen Zahlen“ (Lucky Numbers) in Abbildung 2 (Mitte) dagegen lassen schon Ketten von Punkten in Richtung der Haupt- und Nebendiagonale erahnen. Im Teppich der Primzahlen (Abbildung 3, unten) schließlich sind diese Ketten zahlreicher und länger geworden – jedenfalls deutlich sichtbar. Zwei dieser Ketten entsprechen den Eulerschen Primzahlen x2 ±  x + 41, in der Abbildung durch die Farbe Magenta hervorgehoben. Für  x < 41 haben sie keine Lücken, bestehen also ausschließlich aus Primzahlen. Für  x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen. Die mit grün markierten Primzahlpunkte gehören zu den Termen x2 ±  x + 101 bzw. x2 ±  x + 107. Siehe, wie schon erwähnt, den Beitrag Eulersches Primzahlpolynom.

 

1  Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995), S.  75.
2  Hawkins, D., Briggs, W.E.: The Lucky Number Theorem, Mathematics Magazine 31 (1957), 81 – 84, 277 – 280.
3  Hawkins, David: The Random Sieve, Mathematics Magazine 31 (1957), 1 – 3.