Rauschen in der Musik

Im Juni 1980 erschien im „Spektrum der Wissenschaft” (der deutschen Ausgabe des  Scientific American) ein Artikel von Martin Gardner1 mit dem Titel „Weiße und braune Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen”. Gardner stellte darin die Arbeit eines Physikers vor – sein Name ist Richard F. Voss2, der eine interessante Beziehung zwischen Musik („weiße und braune Melodien”) und zufälligen Schwankungen einer besonderen Art („1/f-Fluktuationen”) entdeckte. Zufällige Schwankungen heißen in der Physik üblicherweise „Rauschen”. Es geht also um den Zusammenhang zwischen Musik und Rauschen.

Musik erfreut (in der Regel), Rauschen nervt (meistens). Ob ein Lautsprecher Musik oder Rauschen liefert, hängt vom zeitlichen Verlauf der (niederfrequenten, NF-) Wechselspannung ab, die an der Lautsprecherspule anliegt. Folgt die Spannung einer Melodie, handelt es sich um Musik, schwankt sie zufällig, um Rauschen. Dieses Rauschen, das durch die zufälligen Schwankungen der Spannung V(t) des NF-Signals zustande kommt, ist hier nicht von Interesse. Hier geht es vielmehr um die zeitlichen Änderungen, die dem Auf und Ab der Lautstärke und der Tonhöhe in einem Musikstück entsprechen. Auch das sind Schwankungen – sie sind aber offenbar weniger oder nur zum Teil zufällig, stellen also eine andere Art Rauschen dar als die Schwankungen von V(t). Man kann sie aber aus dem Zeitverhalten dieses Signals, also aus V(t), ableiten: Die momentane Lautstärke des Signals ist proportional zur Leistung, und diese wiederum proportional zu V2(t). Die momentane Tonhöhe ist proportional zur momentanen Frequenz, und diese wiederum proportional zur Rate Z(t), mit der die Spannung das Vorzeichen wechselt, also proportional zur Zahl der Nulldurchgänge pro Sekunde (Nulldurchgangsrate, engl. zero crossing rate). Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen spiegeln sich also in den Größen V2(t), der Audioleistung, beziehungsweise der Nulldurchgangsrate Z(t) wider.

Beide Größen, V2(t) und Z(t), werden nach Fourier zerlegt. Ihre Fouriertransformierten SV²(f) beziehungsweise SZ(f) geben an, mit welcher Intensität ein kleines Frequenzintervall, dessen Mitte die Frequenz f ist, zur Schwankung der entsprechenden Größe im Musikstück beiträgt. Eine Intensität pro Frequenzintervall heißt üblicherweise spektrale Dichte, SV²(f) und SZ(f) sind daher die spektralen Dichten der Lautstärke (Audioleistung) beziehungsweise momentanen Tonhöhe (Nulldurchgangsrate). Von Interesse ist deren Abhängigkeit von der Frequenz. Voss’ Ergebnis lautet: Die spektrale Dichte der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen von Musik nimmt umgekehrt proportional zur Frequenz ab. Sie verhält sich, mathematisch ausgedrückt, wie die Funktion 1/f – daher der Name „1/f -Fluktuationen“. Stellt man sie in doppelt-logarithmischem Koordinatenpapier dar, ergibt sich eine Gerade mit der Steigung –1.

In die Sprache der Musik übersetzt, heißt das: Langsame Schwankungen von Lautstärke und Tonhöhe, sie entsprechen kleinen Frequenzen in SV²(f) und SZ(f), überwiegen gegenüber schnellen Änderungen, das heißt hohen Frequenzen in SV²(f) und SZ(f). Kleine Änderungen von Lautstärke und Tonhöhe kommen weitaus öfter vor als große Sprünge. Voss hat 1/f-Fluktuationen von Lautstärke und Tonhöhe in verschiedenen Arten von Musik nachgewiesen: Klassik, Jazz, Rock und Pop. Im Übrigen untersuchte er auch Nachrichtensendungen und Aufzeichnungen von Reden, also Sprache, im Hinblick auf derartige Fluktuationen. Sie sind, wie er feststellte, jedoch anderer Art.

Ich habe einen Teil der Voss’schen Experimente versucht nachzuahmen – schon vor einigen Jahren. Aktuelle Experimente haben meine früheren Ergebnisse bestätigt. Die Abbildung zeigt die von mir kürzlich gemessenen spektralen Dichten der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen in den Brandenburgischen Konzerten und Orchestersuiten von J. S. Bach (Diese Musikstücke hatte auch Voss analysiert). Die rote Kurve stellt die Dichte SV2(f) der Lautstärkeschwankungen, die grüne Kurve die Dichte SZ(f) der Tonhöhenschwankungen dar. Beide Kurven zeigen, wie bei Voss, einen 1/f -Verlauf. Um den Unterschied zwischen den Fluktuationen von Audioleistung V2(t) und Nulldurchgangsrate Z(t) auf der einen und Signalspannung V(t) auf der anderen Seite deutlich zu machen, wurde in der Abbildung auch die Dichte von V(t) dargestellt (blaue Kurve, mit SV(f) bezeichnet). Sie ist im dargestellten Frequenzbereich und auch oberhalb von 10 Hz von der Frequenz unabhängig („weißes Rauschen”).  –  Mehr Rauschen hier.

 

1  Martin Gardner: Mathematische Spielereien – Weiße und brauen Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen, Spektrum der Wissenschaft („Scientific American”), Juni 1980, S. 14

2  Richard F. Voss und John Clarke: 1/f noise in music: Music from 1/f noise, J. Acoust. Soc. Am. 63(1), Jan. 1978, p. 258

Finnland und Schweden – 1958 mit den Pfadfindern

Ein Nachtrag zu dem Rückblick auf eine Fahrt nach Finnland und Schweden (Torneträsk 1958), an der ich 1958 als Pfadfinder teilnahm. Wir zelteten eine Woche auf einer Insel in einem See in Finnland und fuhren danach in den Norden Schwedens, um dort zu wandern. Das Foto entstand bei dieser Wanderung, irgendwo zwischen Kiruna und Abisko.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unser Leiter hatte damals Dias gemacht, die habe ich jetzt digitalisieren lassen. Hier eine kleine Auswahl:

Niederrheinische Landschaft

… noch ein Versuch, mit Aquarellstiften zu arbeiten. Malerisches aus dem Corona-geplagten Kreis Heinsberg. Mein Beitrag zur Kompensation der negativen Schlagzeilen, die unser Nachbarkreis verursacht hat: Ein Anblick der Flussauen von Rur und Wurm, nordwestlich der Städte Heinsberg und Oberbruch.

 

Eifellandschaft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Blick über die Dreiborner Höhe hinter Wollseifen (Nationalpark Eifel). Der Weg führt nach Norden zur Urfttalsperre. Aquarellstift, mit Wasser vermalt. Weitere Versuche, die Stimmung auf der Hochebene einzufangen:

Einige Bilder wurden mehrmals mit Aquarellfarben bearbeitet, die einzelnen Malschichten mit Firnis fixiert.

Lichtgeschwindigkeit

An das Workshop erinnere ich mich noch (lang ist’s her): Eine Gruppe von Physiklehrern versucht, mit Lötkolben und Seitenschneider ausgestattet, unter der Anleitung ihres Kollegen U. Ihlefeldt die Elektronik für eine Apparatur zusammenzubauen, mit der man die Lichtgeschwindigkeit im Labor messen kann. Ich bin dabei – und am Ende der Veranstaltung glücklich, zwei funktionierende Schaltungen mit nach Hause nehmen zu können.
Die Elektronik bestand aus einem Lichtsender und einem Lichtempfänger, mit denen man unter Zuhilfenahme eines schnellen Oszilloskops die Zeit messen konnte, die das Licht zum Zurücklegen einer gegebenen Strecke benötigt. Zur Messanordnung gehörten außerdem ein (halbdurchlässiger) Spiegel, ein Reflektor und eine Linse. Trotz des geringen Aufwandes, den die Apparatur erforderte, lieferte sie recht gute Werte. Bei genauerer Messung stellte ich allerdings fest, dass sie systematisch einen Tick größer waren als die bekannten 300000 km/s.
Vor kurzem fiel mir die Apparatur wieder in die Hände – Grund genug, sie nochmals aufzubauen und auch nochmals zu messen. Das Foto zeigt den aktuellen Messaufbau mit Lichtsender, halbdurchlässigem Spiegel, Empfänger und einem Epidiaskop-Objektiv als Linse. Das Licht wird nach Durchlaufen einer gewissen Strecke zurückgeworfen (der Reflektor ist nicht zu sehen) und durch den halbdurchlässigen Spiegel in den Empfänger umgelenkt. Das Oszilloskop misst die Phasenverschiebung zwischen ausgesandtem und vom Empfänger registriertem Lichtimpuls. Durch den Einsatz des Epidiaskop-Objektivs konnte ich das Licht besser bündeln als in der ursprünglichen Anordnung. Infolgedessen wurde mehr Licht in den Empfänger zurückgelenkt, so dass sich die Zeitspanne zwischen Aussendung und Rückkehr des Lichtimpulses sehr genau messen ließ.

Offenbar führt der Intensitätsgewinn auch zu Messwerten, die dem Literaturwert der Lichtgeschwindigkeit näherkommen – also nicht mehr systematisch nach oben abweichen. Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Messung mit der verbesserten Apparatur. Aufgetragen ist die „Reisezeit” Δt des Lichts in Abhängigkeit von der Laufstrecke 2ΔL, wobei die eingezeichnete Ausgleichsgerade einer Lichtgeschwindigkeit von (3,03 ± 0,15) ×108 m/s entspricht. Die Fehlergrenzen ± 0,15 ×108 m/s ergeben sich aus der Streuung der Messpunkte um die Gerade. Eine größere Genauigkeit als die angegebenen ± 5% lässt sich mit der Anordnung wohl kaum erreichen. Etwas mehr zu diesem Experiment hier.

2020 – das Jahr mit dem Pfiff

Eine etwas skurrile Performance: Wir beginnen das neue Jahr mit einem mit den Lippen erzeugten Pfeifton der Tonhöhe (Frequenz) von genau 2020 Hertz (typischer Einfall eines Physikers). In meinem PC ist, wie üblich, ein Mikrofon eingebaut, dessen Signal in einer Soundkarte digitalisiert wird. Das digitalisierte Signal wird nach der Tonhöhe sortiert (Fourier-analysiert) und das Spektrum der Tonhöhen auf dem Bildschirm dargestellt. In dieser Anordnung lässt sich die Frequenz des Pfeiftons messen. Ich beobachte also, während ich drauflos pfeife, das Tonhöhengebirge auf dem Computer-Bildschirm. Änderungen in der Lage von Zunge und Unterkiefer ergeben verschiedene Tonhöhen. Nach etwas Übung zeigt sich tatsächlich ein Matterhorn-ähnlicher Peak bei 2020 Hertz: Treffer (Abbildung oben). – Ein kleiner Mangel: Das Matterhorn dürfte etwas schroffer sein. Physiker bevorzugen Peaks mit steileren Flanken. Peaks mit Flanken in Eiger-Nordwand-Qualität bedeuten, dass der Ton sehr rein ist. Auch damit kann ich dienen – allerdings mit einer anderen Art der Tonerzeugung: Der Deckel meiner Edelstahl-Teekanne sieht in etwa aus wie eine Glocke und klingt auch so. Beim Anschlag mit dem (Tee-)Löffel schwingt er mit einer ganzen Reihe von gut definierten Tönen. Per Zufall entdecke ich unter ihnen auch einen mit genau 2020 Hertz. Die untere Abbildung zeigt, dass der 2020 Hertz-Peak der Teekannendeckelglocke sehr viel schlanker ist der mit den Lippen erzeugte.

Ein Maß für die Schlankheit eines Ton-„Gebirges” ist der Quotient aus der Frequenz des Tons und der Breite des Peaks, bei der die Leistung auf den halben Wert des Maximums abgefallen ist. Dieser Quotient wird Güte Q (des schwingenden Systems) genannt. Ohne auf die Physik einzugehen: In unserer Darstellung der Intensität pro Frequenzintervall in der Einheit Dezibel (dB) ist die Breite bei halber Leistung die horizontale Ausdehnung des „Gebirges” 3 dB unterhalb des Gipfels. Danach hat das gepfiffene „Matterhorn” in Abbildung 1 eine Breite von etwa 18 Hz. Daraus folgt eine Güte von Q = 2020 Hz/18 Hz = 112. Beim Pfeifen schwingt die Mundhöhle als Helmholtz-Resonator, ein Q-Wert von etwa 100 erscheint in diesem Fall plausibel. Der Peak meiner Teekannendeckel-„Glocke” mit seinen „Eiger-Nordwand”-Flanken (Abbildung 2) hat eine Breite von rund 5,8 Hz und ergibt Q = 2020 Hz/5,8 Hz = 348, ein gegenüber dem Pfeifton dreifach größerer Wert. Der Q-Wert einer Kirchenglocke ist offenbar noch einmal um einen Faktor 3 bis 5 größer: Das mir vorliegende Spektrum1 eines Glockentons der Frequenz 697,5 Hz zeigt beispielsweise eine 3dB-Breite von 0,65 Hz, also Q = 1073. Eine andere Arbeit2 nennt Q-Werte von 1300, 1000 und 2000 bei den Frequenzen 624 Hz, 981 Hz  bzw. 1310 Hz.

Als Kurzwellen-Amateur fühle ich mich natürlich verpflichtet, die Zahl 2020 auch im Kilohertz-Bereich zu realisieren: Hier die Beschreibung eines HF-Kreises aus Kondensator und Spule, der mit der Frequenz 2020 kHz schwingt.

1   J. Bauer: Ursachen des Missklangs von Glocken. Diplomarbeit, Fachhochschule Heidelberg, Fachbereich Informatik, Studiengang Elektrotechnik und md-pro GmbH Karlsruhe, Heidelberg 2003.

2  J. Woodhouse et al.: The Dynamics of a Ringing Church Bell, Advances in Acoustics and Vibration, Volume 2012, Article ID 681787, doi:10.1155/2012/681787

 

Neues Bauen in Gladbach-Rheydt

Noch ein Beitrag zum Jubiläum 100 Jahre Bauhaus: In meiner Heimatstadt Rheydt, damals Gladbach-Rheydt, steht etwas abseits der Straße das Schülerinnenwohnheim des Maria-Lenssen-Berufskollegs. Ein Highlight des Neuen Bauens, auch wenn es mit keinem der großen Namen Gropius, Meyer oder Mies van der Rohe verknüpft ist. Entworfen hat es der preußische Regierungsbaumeister Bruno Kleinpoppen, der Bau wurde Anfang der 30-er Jahre fertiggestellt. Inwiefern in dem Gebäude die Ideen des Bauhauses verwirklicht wurden, hat Birgit Gropp1 in hervorragender Weise beschrieben.

Als Beitrag zum Jubiläum nehme ich mir vor,  das Bauwerk noch einmal zu fotografieren – als bescheidene, aber persönliche Hommage an den Baumeister. Eine Gesamtansicht, wie ich sie von den Postkarten meiner Eltern her kenne, schwebt mir vor. Vor Ort stelle ich fest, dass daraus nichts wird: Bäume und Sträucher verdecken den Blick auf die volle Länge. Also nehme ich eine der alten Ansichtskarten hervor und zeichne das Gebäude ab.

1 Birgit Gropp: In Neues Bauen im Westen, https://www.baukunst-nrw.de