Holland Harbour Lighthouse

CIMG1461_MErinnerung an eine Fahrt entlang des Michigan-Sees (USA) im Jahr 2001: Wir stehen an einem Strand mit blendend weißem Sand am Ostufer des Sees. Vor uns ein Kanal, der zu einem „Inlandsee” mit dem Namen Macatawa führt, und dahinter auf einer Mole ein leuchtend rot gestrichenes Haus mit zwei Giebeln und einem Leuchtturm obenauf. Ein Postkartenmotiv. Haus und Leuchtturm sind unter dem Namen Holland Harbour Lighthouse bekannt. Holland ist die Stadt, die landeinwärts am Ende des Macatawa liegt. Sie wurde, wie der Name vermuten lässt, von niederländischen Siedlern gegründet. Die Siedler gruben auch den Kanal, so dass der Macatawa seit dem im 19. Jahrhundert der Stadt Holland als natürlicher Hafen dient. Heute liegen dort Sportboote, Handelsschiffe gibt es nicht mehr.

Postkartenmotive haben eine gefährliche Nähe zum Kitsch. Meine Aquarellstift-Skizze des Holland Harbour Lighthouses ist, pardon, auch nicht ganz kitschfrei.  Weitere Bilder hier.

Luftdruck

LKGymO02_AZur Wettervorhersage wird das Barometer heute nicht mehr benötigt, die wird schon seit Jahren vom Fernsehen geliefert. Früher wusste man: Fiel der Luftdruck, näherte sich ein Tief, in der Regel bedeutete das schlechtes Wetter. Stieg der Druck, konnte man mit einem Hoch und gutem Wetter rechnen. Im Physikunterricht wird gezeigt, dass man das Barometer auch als Höhenmesser benutzen kann. Bekanntlich sinkt der Luftdruck mit steigender Höhe über NN. Und so verläuft die Physikstunde zum Thema Luftdruck:

Das Schulgebäude liegt auf einer Anhöhe, von hier aus lassen sich Punkte unterschiedlicher Höhe über NN bequem erreichen. Unterhalb des Gebäudes, nur wenige hundert Meter vom ihm entfernt, schlängelt sich die Niers (ein Flüsschen) durch ein Schrebergartengelände. Dessen topografische Höhe (vom Messtischblatt abgelesen) ist unsere Null-Marke. Von dort aus zieht die Schüler(innen)-Karawane, mit mehreren Dosenbarometern bewaffnet, bergauf. Wir überqueren eine Straße und machen zunächst Halt am Fuße des Gebäudes. Dort ist eine Höhenmarkierung eingemeißelt, die übernehmen wir ins Messprotokoll. Wir steigen im Gebäude weiter nach oben, zum Schluss durch das Dachgebälk bis in das Türmchen oben auf dem Dach des Bauwerks. Dessen Höhe über NN wurde der Schule irgendwann einmal vom Landesvermessungsamt mitgeteilt – ein weiterer Höhen-Fixpunkt. Unterwegs wird mehrmals der Luftdruck gemessen, an den genannten Punkten und an weiteren Stellen, deren Höhen wir interpolieren. Protokolliert wird, für jedes Barometer getrennt, die Differenz zur Messung an der Null-Marke. Am Ende sind wir insgesamt 50 m hochgestiegen und der Luftdruck ist um 6 mbar gesunken – ein Wert, der deutlich von Null verschieden ist und sogar mit der Therie übereinstimmt. Mehr zu Theorie und Experiment …

Das Foto des Schulgebäudes (Höhe des Türmchens auf dem Dach: 104 m über NN) wurde mit einer Lochkamera aufgenommen. Brennweite f = 25 cm, Durchmesser der Lochblende D ≅ 0,35 mm, Belichtungszeit etwa 6  min.

Torneträsk 1958

Torneträsk_GouacheTuscheEs sind wieder Sommerferien. In meiner Jugend war das Wanderzeit. Als Pfadfinder streiften wir jeden Sommer mit Zelt, Kochgeschirr und dünnen Baumwolldecken (Isomatten und High-Tech-Schlafsäcke gab’s noch nicht) wandernd durchs Gelände: Eifel, Hunsrück, Spessart, Lüneburger Heide, Bayrischer Wald – bescheidene Ziele, alle in Deutschland. Dann, vor genau sechzig Jahren, unsere erste große Fahrt ins Ausland. Nach Finnland und in den Norden Schwedens. Eine kurze Notiz zum Jubiläum.

Mein Bild (Gouache/Tusche) entstand auch vor sechzig Jahren. Es zeigt den Torneträsk, einen Gebirgssee in Nordschweden, Endpunkt einer 6tägigen Wanderung, die Teil dieser Fahrt war. Der Berg links im Bild ist der Nuolja, ca. 1200 m hoch. Einige Fotos unserer Fahrt hier.

Spiegelungen mit Zirkel und Lineal

Abb_6Das Problem, Spiegelungen zentralperspektivisch darzustellen, lässt mir keine Ruhe. Inzwischen bin ich zwar sicher, dass mein Computerprogramm vernünftige Ergebnisse liefert (mehr dazu hier). Aber neu ist die Erkenntnis, dass man das perspektivische Bild einer Spiegelung auch mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Die alten Meister wussten offenbar, wie man das macht, sie hatten noch keine Computer.  Dieses Wissen ist natürlich nicht verloren gegangen, Anleitungen für solche Konstruktionen findet man in der Literatur zur Genüge.

Damit ergibt sich die Frage: sind diese Konstruktionsanleitungen verträglich mit der Mathematik, die ich im Computerprogramm benutze? Zwei einfache Beispiele habe ich „durchgerechnet” – sie sind es. Die Skizze zeigt eine dieser Konstruktionen1: Das Spiegelbild (blau) eines Quaders (schwarz) an einem vertikalen Spiegel (rot). Das andere Beispiel ist die Spiegelung an einer Wasseroberfläche. Details zu den beiden Rechnungen hier.

1 nach Bruce MacEvoy: elements of perspective, www.handprint.com/HP/WCL/perspect6.html

GymOd

GymOd_Logo_Koloriert_MEine etwas verwegen kolorierte Umrisszeichnung meiner früheren Arbeitsstätte, gerade zwischen anderen Skizzenblättern gefunden. Zum Wegwerfen zu schade. Weitere Bilder des Gymnasiums Odenkirchen und ein Foto, das mit einer Lochkamera aufgenommen wurde, hier.

Gespiegelt und zentralprojiziert

Reinhardtsgrimma_04_mit_Foto_MMQuader_Vert_Spiegel_FotoQuader_Vert_Spiegel_Computerausdruck

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Das Bild, das ein Spiegel oder eine ebene Wasseroberfläche von einem Gegenstand erzeugt, folgt den Gesetzen der Optik: Der Lichtstrahl, der von einem Punkt des Gegenstandes ausgeht und unser Auge trifft, wird an der Spiegelebene so reflektiert, dass Einfalls- und Ausfallswinkel gleich sind. Das ist eine einfache Sache. Schwieriger wird es, wenn Gegenstand und Spiegelbild, wie zum Beispiel in der Malerei, zentralperspektivisch darzustellen sind. Eine perspektivisch richtige Darstellung kann man berechnen. Dazu benötigt man etwas Lineare Algebra –  nur ein paar Grundkenntnisse über Matrizen und Vektoren. Sie sind ohne Schwierigkeiten in ein Computerprogramm einzubauen. Das habe ich getan. Von dem Programm will man natürlich wissen, ob es richtig rechnet. Also muss ein Test her.

Mein Computerprogramm ist einfach: Es kann nur einen einzigen geometrischen Körper spiegeln, nämlich einen Quader (ein Gebilde von der Form einer Streichholzschachtel). Gesucht war deshalb ein Foto mit einem Objekt, das sich durch einen Quader annähern lässt, und das auch noch gepiegelt wird. Das Gebäude auf dem Bild links erschien  mir als Testobjekt geeignet. Es liegt auf einer kleinen Anhöhe im Hintergrund des Bildes und spiegelt sich in einem Teich im Vordergrund. Wen es interessiert: es ist das Badehaus im Schlosspark von Reinhardtsgrimma  (Ortsteil von Glashütte in Sachsen). Mein Testobjekt wurde zum Quader vereinfacht und dann dem Computerprogramm zur Verarbeitung eingegeben. Die Zeichnungen von Quader (Original) und Spiegelbild, die der Rechner erzeugte, habe ich in das Foto hineinkopiert. Die Fluchtlinien der horizontalen Quaderkanten laufen in zwei Fluchtpunkten zusammen, einer dieser Punkte ist sichtbar. Wie man sieht, hat der Computer richtig gerechnet – jedenfalls für den Fall horizontaler Spiegelebenen.

Natürlich sollte das Computerprogramm auch für andere Objekt/Spiegel-Anordnungen richtig rechnen. Die beiden Abbildungen rechts zeigen das Beispiel einer Spiegelung an einer vertikalen reflektierenden Ebene, im Alltagsleben als Wandspiegel bekannt. Oben das Foto, darunter der Computerausdruck. Der Vergleich zeigt, dass die Umrisse des Quaders recht gut berechnet werden. Das Computerprogramm liefert also auch in diesem Fall ein plausibles Ergebnis. Test bestanden. Mehr über die Mathematik der Spiegelung und das Programm hier.

Pelješac , . . .

CIMG1145_Mgesprochen [ˈpɛʎɛʃats],  ist die längste Halbinsel vor der Küste Dalmatiens – von Mali Ston im Süden bis Lovište im Norden sind es knapp 70 km. Orebić (hier abgebildet) ist der größte Ort auf Pelješac. Erinnerung an einen Sommerurlaub in Kroatien.

Gekoppelte Pendel

CIMG1091_MCondons Uhrenexperiment1 fand ich schon beim ersten Lesen seines Artikels faszinierend. Es ging um die Frequenzen der Normalschwingungen zweier gekoppelter Oszillatoren. In Condons Experiment waren diese Oszillatoren das Unruh-Drehpendel der Uhr und deren (drehbar gelagertes) Gehäuse. Sie sind durch die Rückstellfeder der Unruh gekoppelt. Die Frequenzen der Normalschwingungen hängen davon ab, wie stark die Oszillatoren gekoppelt und wie weit sie gegeneinander verstimmt sind. Meine eigenen Versuche zeigten, dass man Condons hyperbelartige Frequenz-Kurven auch bei gekoppelten Fadenpendeln beobachtet. Bei diesen Versuchen waren die Massen der Pendelkörper verschieden groß. Nach den ersten zaghaften Experimenten hier das Ergebnis einer weiteren Messung mit Pendeln gleicher Masse – ich wollte sicher sein, dass die Hyperbeln auch in diesem Fall beobachtet werden. Das waren sie. Das Foto zeigt die Anordnung der Fadenpendel. Die Kopplungsfeder bestand aus dünnem Eisendraht und ist deshalb kaum erkennbar.

1 E. U. Condon und P. E. Condon: Effect of Oscillations of the Case on the Rate of a Watch, American Journal of Physics. 16, 14 – 16 (1948).

Kugelfunktionen . . .

Daniel Kehlmann beschreibt die Szene in seinem Buch „Die Vermessung der Welt” mit hintergründigem Humor: Carl Friedrich Gauß und Alexander von Humboldt unterhalten sich über das Magnetfeld der Erde. Humboldt brüstet sich damit, mehr als zehntausend Messungen des Feldes gemacht zu haben. Gauß entgegnet cool, Daten heranschleppen reiche nicht, man müsse auch denken – und lässt „leise lachend” die Bemerkung fallen: „Einfache Kugelfunktionen”. Weiter heißt es dann: „Kugelfunktionen. Humboldt lächelte. Er hatte kein Wort verstanden.”

Geomagnetischer_Pol_02Kugelfunktionen sind für mich nicht das Problem, aber was Gauß mit „denken” meint, war mir dann doch nicht so ganz klar. Also Literaturstudium. Was mir zum Verständnis wichtig erschien, habe ich hier zusammengestellt.

Gauß stellte die Magnetfeldstärke als Summe von Kugelfunktionen dar und bestimmte die Anteile der einzelnen Summanden so, dass die damaligen Messwerte (zum Beispiel die von Humboldt) richtig wiedergegeben wurden. Das macht man auch heute noch so – mit den aktuellen Messwerten.  Dabei ergibt sich, dass eine einzige Kugelfunktion in dieser Summe überwiegt. Sie beschreibt ein Feld, das außerhalb der Erde wie das eines gigantischen Stabmagneten aussieht (ein Dipolfeld). In diesem Feld gibt es zwei gegenüberliegende Orte auf der Erde, an denen die magnetischen Feldlinien senkrecht aus der Erde austreten bzw. wieder eintreten: die magnetischen Pole. Da man den Verlauf der Feldlinien kennt, kann man aus den Messwerten von Deklination und Inklination an einem beliebigen Ort der Erde die Position des magnetischen Nord- bzw. Südpols näherungsweise errechnen. Die Abbildung zeigt, dass man dazu etwas sphärische Trigonometrie benötigt. Mehr dazu steht auch hier.

Condons Uhrenexperiment

N_Schwingungen_gekoppelter_Pendel__FrequenzenEine interessante Anwendung der Theorie gekoppelter Schwingungen wurde vor etwa 70 Jahren von E. U. Condon (in Zusammenarbeit mit P.E. Condon) vorgestellt1 – das Problem geht offenbar zurück auf eine noch ältere Arbeit von Lord Kelvin2. Es ging um die Frage, in welcher Weise der Gang einer Taschenuhr durch (Dreh-)Schwingungen ihres Gehäuses beeinflusst wird. Ein entsprechendes Experiment sollte darüber Aufschluss geben.

Das Ergebnis war, dass der Gang der Uhr in der Tat durch die Kopplung zwischen dem “Schwungrad” des Uhrwerks (dem Unruh-Ring) und dem Gehäuse beeinflusst wird. Diese Kopplung wird durch die Spiralfeder hergestellt, die das Rückstellmoment für den Unruh-Ring liefert. Es gibt also Abweichungen im Gang der Uhr von der Zeit, die gemessen wird, wenn das Gehäuse gegen Drehung fixiert ist. Und zwar so, dass die Uhr schneller geht, wenn die Eigenfrequenz des Gehäuses kleiner ist als die der Unruh, und dass sie langsamer geht, wenn die Gehäuse-Eigenfrequenz größer als die der Unruh ist.

Das Condon’sche Uhrenexperiment faszinierte mich, als ich vor Jahren zum ersten Mal davon erfuhr. Jetzt, nach langer Zeit, ein bescheidener Versuch, die Physik des Experiments nachzuvollziehen – soweit das mit einfachen Mitteln möglich ist. Die Idee: ein Modell-Experiment mit zwei durch eine Spiralfeder gekoppelten Fadenpendeln. Keine Simulation, die wäre wegen des großen Massenunterschieds zwischen Gehäuse und Uhrwerk-Unruh zu aufwändig gewesen. Die eigenen Versuche dazu waren trotzdem interessant. In der Abbildung sind die Frequenzen f der Normalschwingungen zweier gekoppelter Fadenpendel aufgetragen, von denen eines das “Uhren”-Pendel, das andere das “Gehäuse”-Pendel darstellte. Sie sind aufgetragen als Funktion der Eigenfrequenz f1 des “Gehäuse”-Pendels.

1  E. U. Condon und P. E. Condon: Effect of Oscillations of the Case on the Rate of a Watch, A. J. Phys. 16, 14 – 16  (1948)
2  Lord Kelvin: Popular lectures and addresses, MacMillan 1894