Q-Faktor durch Reflexion

Zur Abwechslung Physik: Es geht wieder einmal um den Q-Wert eines Schwingkreises aus Spule (Induktivität L) und Kondensator (Kapazität C). In diesem Fall ist es ein Parallelkreis. Im Ersatzschalbild fügen wir noch einen Widerstand (Ohmscher Wert R) hinzu, einen weiteren Zweig parallel zu Spule und Kondensator. Die Aufgabe lautet, den Gütefaktor Q dieses RLC-Kreises durch eine Reflexionsmessung zu bestimmen. Ich benutze dazu meinen kürzlich erstandenen Vektor-Antennen-Analysator1 FA-VA 5, also ein Gerät, das eine elektromagnetische Welle über ein Kabel dem zu untersuchenden Bauteil zuführt und ermittelt, welcher Anteil der Welle vom Bauteil zurückgeworfen wird. Die vom Analysator gemessene Größe ist eine komplexe Zahl, genannt Reflexionsfaktor S11, und wird nach Betrag und Phase ermittelt. Das Ergebnis einer Messung, also S11, wird in der Regel als Ortskurve – mit der Frequenz f als Parameter – in der komplexen Zahlenebene (Smith-Diagramm) dargestellt.

Die Idee zu dieser Messung kam mir, als ich auf die Versuchsanleitung zu einem Experiment des Physik-Praktikums an der TU Darmstadt2 stieß. Dort sollte mit Hilfe des Reflexionsverfahrens der Q-Wert eines HF-Resonators bestimmt werden. Als Ersatzschaltbild des HF-Resonators dient ein RLC-Parallelkreis. Das Institut für Kernphysik der TU Darmstadt benutzt solche Resonatoren an seinem Elektronenbeschleuniger S-DALINAC. In jungen Jahren habe ich selber längere Zeit an diesem Institut gearbeitet, es freut mich also, in dieser Sache noch einmal an meine ehemalige Arbeitsstätte erinnert zu werden.

Mein RLC-Schwingkreis besteht aus einer Luftspule mit der Induktivität L = 10 mH und einem Keramik-Kondensator der Kapazität C = 330 pF. Seine Resonanzfrequenz sollte f0 = 2,77 MHz betragen – gemessen wurden 2,796 MHz. Ohne auf Theorie und Details der Messung3 einzugehen, hier das Ergebnis meines (Hobby-)Experiments: Die Abbildung zeigt, als Funktion der Frequenz, den Reflexionsfaktor S11 und die Impedanz Z des RLC-Kreises – und zwar in unterschiedlichen Koordinatensystemen. Die Ortskurve des S11-Faktors (grüne Kurve) ist im Smith-Diagramm

dargestellt, während die Impedanz, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil (blaue bzw. rote Kurve) in dem unterlegten kartesischen Koordinatensystem abzulesen ist. Gemessen wurde im Frequenzintervall zwischen 2 und 4 MHz. Von den eingezeichneten Frequenzmarken interessieren hier die Resonanzfrequenz f0 = 2,796  MHz (Marke 1) und die beiden –3dB-Frequenzen f2 = 2,783 MHz und f3 = 2,810 MHz (Marken 2 und 3). Daraus ergibt sich eine Bandbreite von Δf  =  f3f2  = 0,027 MHz, der Gütefaktor Q = f0f  ist damit Q = 104. Zur Kontrolle bestimmte ich in einer unabhängigen Messung die Filterkurve (Resonanzkurve) des RLC-Kreises. Deren Resonanzfrequenz war f0 = 2,792 MHz, ihre Bandbreite Δf  = 0,0265 MHz. Daraus folgt als Gütefaktor Q = 107.

1  Der Vektor-Antennen-Analysator FA-VA 5 wird in Amateurfunk-Kreisen als Bausatz gehandelt. Er wurde von Michael Knitter (DG5MK) entworfen, die Software zur Anbindung des Geräts an einen PC und zur Darstellung der Ergebnisse auf dem Bildschirm stammt von Thomas Baier (DG8SAQ).
2  Versuch 1.2 – Hochfrequenzresonatoren, Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene, Institut für Kernphysik, TU Darmstadt. www.ikp.tu-darmstadt.de› ikp › lehre_ikp › vers12
3  Eine ausführliche Beschreibung der Messungen ist in Arbeit.

Deelense Straal – Übung in Malerei

Der Deelense Straal (Foto) ist einem kilometerlanger Streifen Heideland im niederländischen Nationalpark „Hoge Veluwe“. Er wird von Kiefern und Birken gesäumt und bildet eine breite Schneise mit gelbem Gras und rotbraunem Heidekraut. Eine Sichtachse ohne Kirchturm, Tempelchen oder Obelisk im Fluchtpunkt. Auch bei klarem Wetter hat man den Eindruck, er löst sich in der Ferne auf. Ich versuche, die Stimmung der Landschaft auf Leinwand festzuhalten – mit mäßigem Erfolg. Meine Lehrerin meint, die Farben seien zu vordergründig, nicht lebendig genug. Vermutlich hat sie Recht. Ich poste das Gemälde trotzdem, sozusagen als ersten Entwurf.

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

Nachtrag: Zwei weitere „Entwürfe“, hoffentlich besser.

Alte Niers

Jugenderinnerungen in Schwarzweiß aus den 1950er-Jahren: Fotos von der „Alten Niers“ in Mönchengladbach. Das Flüsschen schlängelte sich in den Nachkriegsjahren noch  durch die Bende östlich des Ortsteils Geneicken. Wasser führte es kaum, das strömte zum großen Teil im Bresges Park über ein Wehr und ergoß sich in einen langweiligen Kanal, die „Neue Niers“. Heute ist die „Alte“ zugeschüttet und die „Neue“ wird renaturiert. Die Kartenskizze zeigt die Orte, an denen die Fotos entstanden.

Marmor an der Lahn

Eine Überraschung auf dem Lahnwanderweg: Der UNICA-Bruch bei Villmar an der Lahn. Er war, so liest man, einer der vielen Steinbrüche, in denen der Lahn-Marmor abgebaut wurde. Heute ist er in Rente und lehrt Erdgeschichte. Zwei Terrassen mit glatt gesägten Wänden bieten einen Einblick in das Leben in den Riffen des Devon-Meeres – vor 380 Millionen Jahren. Die angeschliffenen Kalk-Skelette der damaligen Meerestiere (linkes Bild) erinnern an Computergrafiken. Sie sehen aus wie Darstellungen von JULIA-Mengen mit Siegel-Disks, die mein Rechner seinerzeit ausdruckte. Ein passendes Exemplar (rechtes Bild) habe aus dem Archiv ausgegraben.

Photonenernte

Meine Erntemaschine ist eine kleine Solarzelle, verborgen hinter den Rosen im Vorgarten. Sie liefert den Strom für vier Leuchtdioden, die ein kleines Plastikschild auf dem Schreibtisch beleuchten. Das tut sie nun schon seit Jahren – Zeit für eine kleine Anerkennung: Ich habe den Wirkungsgrad einer ihrer Artgenossinnen aus polykristallinem Silizium bestimmt. Hier ist das Ergebnis.

Mikrowellen im verbotenen Gelände

Das Experiment ist aus dem Schulunterricht entstanden, als wieder einmal Versuche mit Mikrowellen an der Reihe waren: Eine elektromagnetische Welle dringt bei Totalreflexion an einem optisch dünneren Medium in dieses ihr „verbotene” Medium ein. Ein grundlegendes physikalisches Phänomen, das man experimentell bearbeiten sollte, auch quantitativ – dachte ich. Versuche mit Mikrowellen, die an der Grenzfläche zwischen Paraffin und Luft (total-)reflektiert werden, erschienen dafür geeignet. Anleitungen oder Beschreibungen für quantitative Experimente gab es nicht. Nachschlagen bei Crawford1 lieferte einige Hinweise, der Rest war Improvisation. Die Abbildung zeigt das Ergebnis meiner Messungen. Aufgetragen ist die Eindringtiefe der Mikrowellen als Funktion des Winkels der Totalreflexion. Die beste Anpassung an die Messpunkte (rote Kurve) liefert den Brechungsindex von Paraffin bei der Wellenlänge 3,2 cm, hier n = 1,43 ± 0,04. Der Literaturwert ist  n = 1,46. Mehr dazu hier.

1  J. S. Crawford: Berkeley Physics Course, Volume III (Waves), New York: MacGraw-Hill (1965)

 

Kaltweiß

Weißes Licht, zum Beispiel das der Sonne, setzt sich aus mehreren Farben zusammen. Bei Leuchtstoffröhren und Leuchtdioden (LED) kennt man kalt- und warmweiß. Im Foto ist das Weiß einer kaltweißen Leuchtdiode in seine Farben aufgefächert (sogar mehrfach). Untersucht man das Bild genauer, findet man heraus, welche Farben es sind. Mehr dazu hier.

 

Rauschen in der Musik

Im Juni 1980 erschien im „Spektrum der Wissenschaft” (der deutschen Ausgabe des  Scientific American) ein Artikel von Martin Gardner1 mit dem Titel „Weiße und braune Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen”. Gardner stellte darin die Arbeit eines Physikers vor – sein Name ist Richard F. Voss2, der eine interessante Beziehung zwischen Musik („weiße und braune Melodien”) und zufälligen Schwankungen einer besonderen Art („1/f-Fluktuationen”) entdeckte. Zufällige Schwankungen heißen in der Physik üblicherweise „Rauschen”. Es geht also um den Zusammenhang zwischen Musik und Rauschen.

Musik erfreut (in der Regel), Rauschen nervt (meistens). Ob ein Lautsprecher Musik oder Rauschen liefert, hängt vom zeitlichen Verlauf der (niederfrequenten, NF-) Wechselspannung ab, die an der Lautsprecherspule anliegt. Folgt die Spannung einer Melodie, handelt es sich um Musik, schwankt sie zufällig, um Rauschen. Dieses Rauschen, das durch die zufälligen Schwankungen der Spannung V(t) des NF-Signals zustande kommt, ist hier nicht von Interesse. Hier geht es vielmehr um die zeitlichen Änderungen, die dem Auf und Ab der Lautstärke und der Tonhöhe in einem Musikstück entsprechen. Auch das sind Schwankungen – sie sind aber offenbar weniger oder nur zum Teil zufällig, stellen also eine andere Art Rauschen dar als die Schwankungen von V(t). Man kann sie aber aus dem Zeitverhalten dieses Signals, also aus V(t), ableiten: Die momentane Lautstärke des Signals ist proportional zur Leistung, und diese wiederum proportional zu V2(t). Die momentane Tonhöhe ist proportional zur momentanen Frequenz, und diese wiederum proportional zur Rate Z(t), mit der die Spannung das Vorzeichen wechselt, also proportional zur Zahl der Nulldurchgänge pro Sekunde (Nulldurchgangsrate, engl. zero crossing rate). Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen spiegeln sich also in den Größen V2(t), der Audioleistung, beziehungsweise der Nulldurchgangsrate Z(t) wider.

Beide Größen, V2(t) und Z(t), werden nach Fourier zerlegt. Ihre Fouriertransformierten SV²(f) beziehungsweise SZ(f) geben an, mit welcher Intensität ein kleines Frequenzintervall, dessen Mitte die Frequenz f ist, zur Schwankung der entsprechenden Größe im Musikstück beiträgt. Eine Intensität pro Frequenzintervall heißt üblicherweise spektrale Dichte, SV²(f) und SZ(f) sind daher die spektralen Dichten der Lautstärke (Audioleistung) beziehungsweise momentanen Tonhöhe (Nulldurchgangsrate). Von Interesse ist deren Abhängigkeit von der Frequenz. Voss’ Ergebnis lautet: Die spektrale Dichte der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen von Musik nimmt umgekehrt proportional zur Frequenz ab. Sie verhält sich, mathematisch ausgedrückt, wie die Funktion 1/f – daher der Name „1/f -Fluktuationen“. Stellt man sie in doppelt-logarithmischem Koordinatenpapier dar, ergibt sich eine Gerade mit der Steigung –1.

In die Sprache der Musik übersetzt, heißt das: Langsame Schwankungen von Lautstärke und Tonhöhe, sie entsprechen kleinen Frequenzen in SV²(f) und SZ(f), überwiegen gegenüber schnellen Änderungen, das heißt hohen Frequenzen in SV²(f) und SZ(f). Kleine Änderungen von Lautstärke und Tonhöhe kommen weitaus öfter vor als große Sprünge. Voss hat 1/f-Fluktuationen von Lautstärke und Tonhöhe in verschiedenen Arten von Musik nachgewiesen: Klassik, Jazz, Rock und Pop. Im Übrigen untersuchte er auch Nachrichtensendungen und Aufzeichnungen von Reden, also Sprache, im Hinblick auf derartige Fluktuationen. Sie sind, wie er feststellte, jedoch anderer Art.

Ich habe einen Teil der Voss’schen Experimente versucht nachzuahmen – schon vor einigen Jahren. Aktuelle Experimente haben meine früheren Ergebnisse bestätigt. Die Abbildung zeigt die von mir kürzlich gemessenen spektralen Dichten der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen in den Brandenburgischen Konzerten und Orchestersuiten von J. S. Bach (Diese Musikstücke hatte auch Voss analysiert). Die rote Kurve stellt die Dichte SV2(f) der Lautstärkeschwankungen, die grüne Kurve die Dichte SZ(f) der Tonhöhenschwankungen dar. Beide Kurven zeigen, wie bei Voss, einen 1/f -Verlauf. Um den Unterschied zwischen den Fluktuationen von Audioleistung V2(t) und Nulldurchgangsrate Z(t) auf der einen und Signalspannung V(t) auf der anderen Seite deutlich zu machen, wurde in der Abbildung auch die Dichte von V(t) dargestellt (blaue Kurve, mit SV(f) bezeichnet). Sie ist im dargestellten Frequenzbereich und auch oberhalb von 10 Hz von der Frequenz unabhängig („weißes Rauschen”).  –  Mehr Rauschen hier.

 

1  Martin Gardner: Mathematische Spielereien – Weiße und brauen Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen, Spektrum der Wissenschaft („Scientific American”), Juni 1980, S. 14

2  Richard F. Voss und John Clarke: 1/f noise in music: Music from 1/f noise, J. Acoust. Soc. Am. 63(1), Jan. 1978, p. 258

Finnland und Schweden – 1958 mit den Pfadfindern

Ein Nachtrag zu dem Rückblick auf eine Fahrt nach Finnland und Schweden (Torneträsk 1958), an der ich als Pfadfinder teilnahm. Wir zelteten eine Woche auf einer Insel in einem See in Finnland und fuhren danach in den Norden Schwedens, um dort zu wandern. Das Foto entstand bei dieser Wanderung, irgendwo zwischen Kiruna und Abisko.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Dias, die damals gemacht wurden, habe ich jetzt digitalisieren lassen. Hier eine kleine Auswahl: