Vor 20 Jahren: Hale-Bopp am Himmel

Hale_Bopp_vom_Garten_ausVor genau 20 Jahren war der Komet Hale-Bopp mit bloßem Auge zu sehen. Eine kleine Notiz zur Erinnerung an das Himmelsereignis ist da angebracht. Das Foto wurde im eigenen Garten aufgenommen, Blickrichtung NNW.  Der Komet steht zwischen den Sternen Algol im Sternbild Perseus und Alamak im Sternbild Andromeda – das zeigt das zweite Foto. Geschätzte Position des Komenten: RA = 2h 38m, Delta = +41°. Aus der Ephemeridentabelle1 entnimmt man, dass Hale-Bopp diese Position am 07. April 1997 innehatte. Die beiden Schweife sind gut sichtbar.

1 http://www2.jpl.nasa.gov/comet/ephemjpl8.html

 

 

Hale_Bopp_mit_Sternbildern_02

Elektronen im Kupfer

CIMG2863Beim Stöbern im Internet gerate ich hin und wieder auf Sites, in denen es um Schulphysik geht (kein Zufall, in dieser Branche habe ich früher gearbeitet). Zum Beispiel auf die Site einer Lehrmittelfirma. Dort wird ein Experiment beschrieben, das die Hallkonstante von Kupfer misst1 – und das mit einer Genauigkeit von ± 1%. Erstaunlich. Da kommen Neugier und Neid auf, so genau hatte ich diese Größe nie gemessen. Ich kramte meine früheren Aufzeichnungen heraus: ± 30% war mein Messfehler damals. Hier mein (überarbeitetes) Messprotokoll.

Was den Wert der Konstanten angeht, konnte ich den Literaturwert innerhalb meiner ± 30% Fehlergrenzen bestätigen. Doch der Wert selbst war falsch. Dass ein „falscher“ Wert trotzdem richtig sein kann, muss man im Unterricht begründen. In der Schulphysik herrscht die Meinung, ein (Demonstrations-) Experiment tauge nichts, wenn es nicht den „richtigen“ Wert liefert. Das stimmt nicht, jede Messung  ist ungenau. Man schätzt die Ungenauigkeit ab und gibt sie zusammen mit dem Messwert als „Messfehler“ an, in der Regel hinter dem Zeichen „±“. Beispiel: Der damals von mir bestimmte Wert der Hallkonstanten RH  = – (5,0 ± 1,6) ·10 – 11 m3/As.

Im Übrigen ist das Wort „Fehler“ irreführend. Es suggeriert, man habe die „Scheibe“ nicht getroffen – falsch. Der Fehler ist nichts anderes als (ein Schätzwert für) die Größe der Scheibe, die man bei wiederholten Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von beispielsweise 68% (1σ-Wert) trifft.

Das Foto zeigt einen Teil meines Versuchsaufbaus. Vielleicht ist von Interesse, was das Experiment für die Physik hergibt: Aus dem genannten Wert von RH folgt, dass in metallischem Kupfer ein Atom im Mittel 1,5  Elektronen für die Stromleitung zur Verfügung stellt.

1 Versuchsbeschreibung der Fa. Phywe: https://www.phywe.de/de/hall-effekt-in-metallen.html#tabs3

 

Auf dem Umweg zum Ziel

CIMG2815Auch der Umweg führt zum Ziel –  wenn er kein Abweg ist. Einmal angekommen, kann man behaupten, man hätte den direkten Weg genommen. Das kann eine Welle nicht. Sie kommt nämlich, da der Umweg länger als der direkte Weg ist, mit einer anderen Phase am Ziel an als die direkte Welle. Das setzt natürlich voraus, dass beide Wellen zur gleichen Zeit und mit der gleichen Anfangsphase starten. Die Phasendifferenz zwischen Umweg- und direkter Welle drückt man üblicherweise als Winkel zwischen 0° und 360° aus (zwischen 0 und 2π, wenn man im Bogenmaß rechnet). Ist sie 2π oder ein Vielfaches davon, sind beide Wellen im Takt und verstärken sich. Sie können sich aber auch auslöschen. In diesem Fall ist die Phasendifferenz nur halb so groß (π oder ein Vielfaches davon). Dann treffen am Ziel Wellenberg und Wellental aufeinander. Je nach Längendifferenz zwischen direktem und Umweg beobachtet man dort, wo die Wege wieder zusammentreffen, auch Werte zwischen maximaler und minimaler Schallintensität. Aus dem Verlauf des Schallpegels als Funktion der Weglängendifferenz lässt sich die Schallgeschwindigkeit bestimmen. Hier Messungen dazu. Das Foto zeigt die Messapparatur.

Das geht ins Auge

3D_Plot_Bs(x,y)_neu_02Eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Physik 2005 (Sekundarstufe 1)1: Die Nachwuchsphysikerin Josefine soll ihr Auge, durch eine Sammellinse vergrößert, in einem Spiegel betrachten. Sie findet zwei verschiedene Möglichkeiten, ihr eigenes Auge vergrößert zu sehen – einmal als aufrecht stehendes, das andere Mal als umgekehrtes Bild. Für beide Fälle soll sie den Strahlengang konstruieren.

Einfache Sache, denkt der Profi. Einige Linsen und ein Spiegel sind schnell beschafft, dann beginnt das Herumprobieren. Das führt zu nichts, weil er keinen Plan hat. Er konstruiert aufs Geratewohl einige Strahlengänge. Auch das verschafft nicht die nötige Übersicht. Also muss etwas Theorie her. Dabei ergibt sich die Frage, wie man die Vergrößerung definiert. Zumindest dann, wenn man die Linse als Lupe benutzt.

Beim Experimentieren, jetzt etwas systematischer, stellt sich heraus, dass man sich beschränken sollte. Nämlich auf die Betrachtung mit entspanntem (auf Unendlich eingestelltem) Auge. Anderenfalls ist es schwierig, Experiment und Theorie zu vergleichen. Hier ein kleiner Beitrag zu diesem Problem.

Die Bildgröße BS ist abhängig davon, wie weit das Auge von der Linse entfernt ist (y) und welchen Abstand der Spiegel von der Linse hat (x). Die Abbildung ist eine 3D-Darstellung der Funktion BS(x, y). Mit entspanntem Auge beobachtet man in der Nähe der steilen „Wände“, das sind die Polstellen bzw. Polkurven von BS.

1  MNU-Zeitschrift 58/6 (1.9.2005)

Fibonacci-Rechtecke

Fibonacci_RechteckeEine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge:

Nimm die Folge (Fn) =  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… (n = 0, 1, 2 , 3 …) der Fibonacci-Zahlen1 und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0×1 = 0, 1×1 = 1, 1×2 = 2, 2×3 = 6, 3×5 = 15, 5×8 = 40, usw. Die Produkte 0, 1, 2, 6, 15, 40, usw. sind die Flächeninhalte der so genannten Fibonacci-Rechtecke2 mit den Seitenlängen (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), ….  Addiere die ersten n Flächeninhalte. Dann entsteht die Zahlenfolge (an) =  0, 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441, 1155, 3025, …, die Summe der Fläche der ersten n Fibonacci-Recktecke3.  In der Abbildung sind die Fibonacci-Rechtecke spiralförmig aneinander gelegt. Man erkennt sofort, dass jedes zweite Rechteck die bisher angelegten zu einem Quadrat ergänzt. Das heißt, jedes zweite Glied der Folge (an) ist eine Quadratzahl: 1 = 12, 9 = 32, 64 = 82, 441 = 212 und 3025 = 552, und zwar das Quadrat einer Fibonacci-Zahl mit geradem Index: 12 = F22, 32  = F42, 82 = F62, 212 = F82. Beweis durch vollständige Induktion.

Die Fibonacci-Rechteck-Spirale ist sicher keine Entdeckung von mir. Ich habe sie aber bisher in der Literatur noch nicht gefunden. Wen es interessiert, zwei kleine Notizen zum Thema: Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt und Formel von Moivre/Binet. Oder wie wär’s mit einem Ausflug in die Lineare Algebra: Moivre/Binet (Beweis mit LA) .

… und da gerade das Stichwort “Fibonacci” fällt, hier noch ein Nachtrag zur Jahreszahl 2017. Nach Zeckendorf kann jede natürliche Zahl n  > 0  eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden. Die Zeckendorf-Zerlegung unserer Jahreszahl ist 2017 = 1597 + 377 + 8 + 1.

 

1     The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (A000045)
2     a. a. O., (A001654)
3     a. a. O., (A064831)

Kacheln

Kachel_Olbrich_Haus_04Die Stadt Darmstadt bemüht sich um die Anerkennung ihrer Künstlerkolonie Mathildenhöhe als UNESCO-Weltkulturerbe. Dabei wird sie von vielen Seiten unterstützt, u. a. auch vom Verein der Freunde der Mathildenhöhe e.V. Der feierte am 10. Januar 2017 sein 10-jähriges Bestehen. Als Mitglied in diesem Verein nahm ich das zum Anlass, mich wieder einmal mit Jugendstil-Ornamenten zu beschäftigen. Bei der Suche nach Vorlagen für eigene “künstlerische Versuche” stieß ich (nicht ganz zufällig) auf das Muster der blau-weißen Kacheln am Haus Olbrich (Abbildung links). Die ersten “Versuche” waren Farbbdrucke mit Schablonen – in keiner Weise originell.

Motiv_Variation_Kachel_Olbrich_Haus_neu_02 Enttäuschung und Frust führten zu einer etwas gewagteren Interpretation des Kachelmusters.

 

 

2017 – ein Primzahljahr

2017_Jahreszahl_022017 – nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.  2011 war das letzte Primzahljahr, das nächste ist 2027, also erst 10 Jahre später. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2²×3×5 der Primzahlen 2, 3 und 5.

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schließlich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid – und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 übrig lässt (2017 = 4×504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen – nach Fermat’s berühmtem Zwei-Quadrate-Satz1. Der Satz gilt für alle Primzahlen größer als 2. Beispiele: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1². In unserem Fall ist 2017 = 44² + 9². Also notieren wir:

2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie lässt sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44² + 9² (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat).

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1/2017.

“Gefühl ist alles; Name ist Schall und Rauch “

CIMG0021Faust windet sich, als Gretchen ihn nach seiner Religion fragt. Kann man verstehen. Aber den Schall zur Begründung seiner Ausflüchte  heranzuziehen, ist ein Missgriff, den wir Physiker ihm nicht verzeihen. Immerhin ist die Lehre vom Schall, in der Branche Akustik genannt, ein wichtiges Gebiet der Physik. Denn der Schall macht überall dort, wo er sich ausbreitet, die Welle – in der Luft, im Wasser, im Festkörper, im Nierensteinzertrümmerer (als Stoßwelle) und wer weiß wo.

Hier geht es um die Welle in der Luft – genauer gesagt, um mehrere  Wellen. In unserem Fall werden sie von zwei Lautsprechern abgestrahlt und überlagern sich. Sie interferieren, wie man sagt. Dabei verstärken sie sich oder löschen sich gegenseitg aus. Das Foto zeigt eine Messanordnung, mit der man die Interferenz von Schallwellen in Luft zeigt. Mehr davon hier.

Kriechen und Schwingen …

Galvanometer_02… kann es recht gut, soll es aber nicht. Es soll sich genau auf der Grenze zwischen Kriechen und Schwingen bewegen – nämlich im aperiodischen Grenzfall. Die Rede ist vom Galvanometer, einem physikalischen Messinstrument für kleine Stromstärken (Mikro-Ampere). Im aperiodischen Grenzfall bewegt sich sein Zeiger in der kürzest möglichen Zeit auf den Messwert zu.

Der Physiker kennt das Galvanometer aus dem physikalischen Grundpraktikum. Bei uns Studenten galt der Versuch als hardcore physics. Uns fehlte die Mathematik dazu (die wurde erst in höheren Semesetern serviert) und meist auch die Zeit für die Vorbereitung.

Das Instrument ist ein Fossil aus dem analogen Zeitalter. Ich entdeckte ein Exemplar kürzlich in der Sammlung meiner ehemaligen Arbeitsstätte. Es funktionierte noch, ich habe es geprüft. Hier das Ergebnis. Auch die Bewegungsgleichung des Torsionszeigers habe ich mir noch einmal angesehen: Er kriecht und schwingt tatsächlich.