… Schall und Rauch ?

CIMG0021Faust windet sich, als Gretchen ihn nach seiner Religion fragt. Kann man verstehen. Aber den Schall zur Begründung seiner Ausflüchte  heranzuziehen, ist ein Missgriff, den wir Physiker ihm nicht verzeihen. Immerhin ist die Lehre vom Schall, genannt Akustik, ein wichtiges Gebiet der Physik. Denn der Schall macht überall dort, wo er sich ausbreitet, die Welle – in der Luft, im Wasser, im Festkörper, im Nierensteinzertrümmerer (als Stoßwelle) und wer weiß wo.

Hier geht es um die Welle in der Luft – genauer gesagt, um mehrere  Wellen. In unserem Fall werden sie von zwei Lautsprechern abgestrahlt und überlagern sich. Sie interferieren, wie man sagt. Dabei verstärken sie sich oder löschen sich gegenseitg aus. Das Foto zeigt eine Messanordnung, mit der man die Interferenz von Schallwellen in Luft zeigt. Mehr davon hier.

Kriechen und Schwingen …

Galvanometer_02… kann es recht gut, soll es aber nicht. Es soll sich genau auf der Grenze zwischen Kriechen und Schwingen bewegen – nämlich im aperiodischen Grenzfall. Die Rede ist vom Galvanometer, einem physikalischen Messinstrument für kleine Stromstärken (Mikro-Ampere). Im aperiodischen Grenzfall bewegt sich sein Zeiger in der kürzest möglichen Zeit auf den Messwert zu.

Der Physiker kennt das Galvanometer aus dem physikalischen Grundpraktikum. Bei uns Studenten galt der Versuch als hardcore physics. Uns fehlte die Mathematik dazu (die wurde erst in höheren Semesetern serviert) und meist auch die Zeit für die Vorbereitung.

Das Instrument ist ein Fossil aus dem analogen Zeitalter. Ich entdeckte ein Exemplar kürzlich in der Sammlung meiner ehemaligen Arbeitsstätte. Es funktionierte noch, ich habe es geprüft. Hier das Ergebnis. Auch die Bewegungsgleichung des Torsionszeigers habe ich mir noch einmal angesehen: Er kriecht und schwingt tatsächlich.

Regenbogen im Canyon

Regenbogen_Gand_Canyon_2014_MNoch ein Beitrag zum Thema Regenbogen:

Wir stehen mit dem Rücken zur Sonne und vor uns regnet es. Am Himmel sehen wir einen Regenbogen. Muss der immer am Himmel stehen? Das Foto zeigt: Er kann sich auch tief unten in den Grand Canyon verkriechen. Physik und Geometrie erklären das. Wer es genauer wissen will, muss noch einmal zur Schule – in den Physikunterricht:

Es ist gegen Mittag und die Sonne steht hoch am Himmel – das ist im Sommer in Arizona so üblich. Wir denken uns die Gerade, die die Sonne mit unserem eigenen Standort verbindet, und verlängern sie in der Richtung, in die wir blicken. Sie trifft, wo immer wir sie enden lassen wollen, auf einen imaginären Punkt, den Sonnengegenpunkt (engl. antisolar point). Der liegt schon ziemlich tief im Canyon. Die Gerade ist die Achse eines Kegels mit dem Öffnungswinkel 42°. Unter diesen Winkel relativ zur Kegelachse (oder relativ zum Sonnengegenpunkt) erscheint der Bogen. Warum immer 42°, egal wie und wann wir ihn sehen? Das ist eine Frage an die Physik. Die sagt, dass wir nur einen einzelnen Wassertropfen betrachten brauchen, um den Regenbogen zu verstehen. Ein Sonnenstrahl wird beim Eintritt in ihn gebrochen, im Innern reflektiert, und am Austritt wiederum gebrochen. Wie, das sagen uns Brechungs- und Reflexionsgesetz. Rechnen wir alles unter Beachtung dieser Gesetze durch, erhalten wir den genannten Öffnungswinkel 42°. Aber nur für eine der Farben, die im Sonnenlicht vertreten sind. Ist z. B. Rot die Farbe, die unter 42° erscheint (der genaue Winkel hängt etwas von der Tropfengröße ab), sieht man das Violett am anderen Rand des Bogens unter einem etwa 2° kleineren Winkel.

Wenn der Sonnengegenpunkt schon sehr tief unter uns liegt, wie hier bei hochstehender Sonne, hat der Kegelmantel (Regenbogen) bei einem Öffnungswinkel von 42° keine Chance, über den Horizont heraus zu ragen und sich am Himmel auszubreiten. Allerdings muss es tief unter uns, wie hier im Canyon, auch regnen.

Theoretische Überlegungen zum Regenbogen gibt es seit dem Mittelalter. Einen Überblick bis zu den Arbeiten des 19. Jahrhunderts (Airy ) liefert J. D. Jackson: From Alexander of Aphrodisias to Young and Airy, Physics Reports 320 (1999), 27 – 36. Ich habe diesen Artikel durchgearbeitet und dabei Notizen gemacht: Bemerkungen, Neben- und Zwischenrechnungen, um ihn für mich verständlich zu machen. Mein Regenbogen-Modellexperiment mit einem Acrylglas- statt Wassertropfen ist vielleicht auch von Interesse.

 

 

Teppiche mit gesiebten Zahlen

Die Themen Primzahlteppiche und Eulersches Primzahlpolynom beschäftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolomé, Rung und Kern1. In ihrem Buch über Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, für die der Wert des Terms T(x, y) = x2 + y2 eine Primzahl ist. Das Muster der Punkte lässt zwar keine große Ordnung erkennen (abgesehen von den trivialen Symmetrien bezüglich der Koordinatenachsen und des Nullpunkts), ist aber nicht zufällig. Variiert man T(x, y), entstehen andere Grafiken.

RandomPrimeTeppich_02_weiss(1)  Hawkins Primes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LuckyNumberTeppich_05_weiss(2)  Lucky Numbers

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Primzahlteppich_xxplusy_03(3)  Primzahlen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zahlenteppiche:  (1) Random Primes, (2) Lucky Numbers und (3) Primzahlen, siehe Text. Ein Klick auf die Abbildung vergrößert sie.

Meine Idee: Ich erweitere den Begriff des Primzahlteppichs auf den des Zahlenteppichs. Zahlenteppiche sind denmach kartesische Koordinatensysteme, in denen diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die der Wert eines geeigneten Rechenterms T(x, y) eine Zahl mit einer beliebigen, vorgegebenen Eigenschaft ist. Die Eigenschaft, Primzahl zu sein, wäre somit ein Spezialfall. Wählt man den “richtigen” Term T(x, y), so dachte ich, müsste es möglich sein, interessante Teppichmuster auch für Zahlenmengen zu erzeugen, die sich durch andere Eigenschaften auszeichnen als prim zu sein.

Ich wähle den Term T(x, y) = x + y2. Er liefert einen interessanten Primzahlteppich (dargestellt im Artikel Eulersches Primzahlpolynom). Die  Primzahlen werden bekanntlich durch ein Siebverfahren erzeugt, benannt nach seinem Entdecker Eratosthenes. Deshalb liegt es nahe, Zahlen zu testen, die auch durch ein Siebverfahren entstehen. Da gibt es zunächst die  „Glücklichen Zahlen“ (engl. Lucky Numbers2). Sie entstehen durch ein Sieb, das dem des Eratosthenes ähnlich ist. Es streicht die jeweils verbleibenden Zahlen aber nicht aufgrund ihres Wertes (wie bei Eratosthenes), sondern aufgrund ihrer Position. Eine dritte durch ein Siebverfahren erzeugte Zahlenmenge, die ich in der Literatur fand, ist die Folge der Hawkins Primes3 (oder Random Primes). Hawkins’ Sieb ist eine nicht-deterministische, vom Zufall gesteuerte Methode, die jeweils verbliebenen Zahlen zu streichen. Hier eine genaue Beschreibung der drei genannten Siebe.

Die Teppiche zum Term T(x, y) = x + y2, die den genannten Zahlenmengen Primzahlen, Lucky Numbers und Hawkins Primes entsprechen, sind in den drei Abbildungen dargestellt. Das Ergebnis ist nicht umwerfend (leider), bestätigt aber unsere intuitive Vorstellung von Ordnung und Chaos in den drei Mengen. Wie erwartet, zeigt der Teppich der Hawkins Primes (Abbildung 1, oben) keinerlei Abweichungen von einer Zufallsverteilung. Die „Glücklichen Zahlen“ (Lucky Numbers) in Abbildung 2 (Mitte) dagegen lassen schon Ketten von Punkten in Richtung der Haupt- und Nebendiagonale erahnen. Im Teppich der Primzahlen (Abbildung 3, unten) schließlich sind diese Ketten zahlreicher und länger geworden – jedenfalls deutlich sichtbar. Zwei dieser Ketten entsprechen den Eulerschen Primzahlen x2 ±  x + 41, in der Abbildung durch die Farbe Magenta hervorgehoben. Für  x < 41 haben sie keine Lücken, bestehen also ausschließlich aus Primzahlen. Für  x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen. Die mit grün markierten Primzahlpunkte gehören zu den Termen x2 ±  x + 101 bzw. x2 ±  x + 107. Siehe, wie schon erwähnt, den Beitrag Eulersches Primzahlpolynom.

 

1  Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995), S.  75.
2  Hawkins, D., Briggs, W.E.: The Lucky Number Theorem, Mathematics Magazine 31 (1957), 81 – 84, 277 – 280.
3  Hawkins, David: The Random Sieve, Mathematics Magazine 31 (1957), 1 – 3.

Regenbogen – in Natur und Heimversuch

Regenbogen_Hochneukirch_03_MMAlles lässt sich an einem einzelnen Wassertropfen erklären. Die Gesetze der Strahlenoptik1 genügen, um die meisten seiner Eigenschaften zu verstehen: Die Sonnenstrahlen werden beim Eintritt in den Tropfen gebrochen, dann ein- oder mehrmals total reflektiert und beim Austritt wiederum gebrochen. Einmalige Reflexion im Innern des Tropfens führt zum Regenbogen erster Ordnung (Hauptregenbogen), zweimalige Reflexion zum Regenbogen zweiter Ordnung (Nebenregenbogen) usw.

Wem das alles bekannt ist, überspringe die nächsten Zeilen, vielleicht bis zum Stichwort Heimversuch. Der Link dahinter verweist auf Notizen zu einem Modellversuch, bei dem der Wassertropfen durch einen Plexiglaszylinder ersetzt wurde. Der Versuch war ursprünglich gedacht als Praktikumsexperiment für meine Schüler(innen).

Jeder Sonnenstrahl wird aus seiner ursprünglichen Richtung um einen Winkel abgelenkt, der davon abhängt, in welchem Abstand vom Mittelpunkt des Tropfens er einfällt. Verfolgt man den Verlauf vieler Strahlen durch den Tropfen, so stellt man fest, dass es einen kleinsten Ablenkwinkel gibt -  und dass in der Umgebung dieses Winkels viele Strahlen zur Ablenkung beitragen. Die Strahlen bilden eine Kaustik (Brennlinie). Das bedeutet, dass hier die Lichtintensität groß ist. Das Auge registriert diese erhöhte Intensität als Regenbogen.

Der kleinste Ablenkwinkel beträgt bei einmaliger Reflexion (Hauptregenbogen) 138°, im Fall zweimaliger Reflexion (Nebenregenbogen) 231°.  Am Himmel beobachtet man die Bögen als Kreise um einen imaginären Mittelpunkt, genannt Sonnengegenpunkt (engl. antisolar point). Denkt man sich die Gerade, die vom Beobachter zum Sonnengegenpunkt gerichtet ist, als Bezugsachse, so sieht man den Hauptregenbogen unter dem Winkel 180° – 138° = 42°, den Nebenregenbogen unter demAbb3_Regenbogen_kritische_Strahlen Winkel 231° – 180° = 51°. Die nachfolgende Skizze zeigt die Strahlen mit kleinstem Ablenkwinkel für Haupt- und Nebenregenbogen (m=1 bzw. m=2). Die Sonne steht dabei tief am Horizont, so dass ihre Strahlen parallel zur Erdoberfläche verlaufen. Die Bezugsachse und der Sonnengegenpunkt liegen in diesem Fall in der Erdoberfläche, und die genannten 42° und 51° sind die Höhenwinkel, unter denen  Haupt- bzw. Nebenregenbogen erscheinen.

In den Winkelbereich zwischen 42° und 51° fällt nur wenig Licht. Es stammt von Regenbögen höherer Ordnung, deren Intensität gering ist. Deshalb ist das Gebiet zwischen Haupt-und Nebenregenbogen deutlich dunkler als andere Himmelsbereiche (Alexanders Dunkelzone2). Bei der zweimaligen Brechung des Strahls wird dieser spektral zerlegt, so dass der Ablenkwinkel  für die verschiedenen Wellenlängen, die im Licht der Sonne enthalten sind, unterschiedlich ist. Das erklärt die Farben des Regenbogens.

Ersetzt man den Wassertropfen durch einen geeignet geformten Acrylglaskörper, lassen sich einige Eigenschaften des Regenbogens im Heimversuch studieren. Mehr davon hier.

 

1  Die strahlenoptische Erklärung des Regenbogens verdanken wir Descartes (1596 – 1650) und Newton  (1642 – 1726). Wellenoptische Rechnungen gehen zurück auf Young (1773 – 1829) und Airy (1801 – 1892). Eine Darstellung der Theorie des Regenbogens findet sich beispielsweise in dem Buch von van de Hulst, Light scattering by small Particles,  J. Wiley, New York 1957. Von J. D.  Jackson (Author des Standardtextes Classical Electrodynamics) stammt eine Kurzfassung der Theorie: From Alexander of Aphrodisias to Young and Airy, Physics Reports 320, (1999), S. 27. Ford und Wheeler  behandeln die Regenbogenstreuung als Sonderfall der quantenmechanischen Streuung (in halbklassischer Näherung),  Ann. Physics 7, S. 250 (1959).  Die exakte Theorie des Regenbogens behandelt die Streuung des Sonnenlichts auf der Grundlage der Maxwell’schen Gleichungen. Numerische Rechnungen dazu wurden z. B. von Nussenzweig  ausgeführt (Khare und Nussenzveig, Phys. Rev. Letters 33, S. 976 (1974)). Von Nussenzveig stammt auch eine populärwissenschaftliche Darstellung der Physik des Regenbogens, Scientific American, April 1977, S. 116.

2  Benannt nach Alexander von Aphrodisias, Kommentator des Aristoteles, Lehrer am Lyzeum in Athen, ca. 200 n. Chr.

Rettungsversuch

Schloss_Rheydt_Eingang_Hauptburg_oRVor mir liegt ein gründlich misslungenes Aquarell von Schloss Rheydt: zu grelle Farben (z.B.  das Gelb-Orange der Hauptburg) , zu scharfe Konturen, der Hintergrund (Bäume) zu grün und zu dunkel. Hier mein Versuch, zumindest einen kleinen Ausschnitt des Bildes zu retten: Ich wässere das Papier und nehme mit einem Streifen Küchenrolle Farbe weg, lass es trocknen und setze dann an einigen Stellen mit neuer Farbe Akzente. Mit einem Radiergummi helle ich den hinteren Teil des Gebäudes und den Himmel rechts davon auf und arbeite noch ein ein wenig an der Wasserspiegelung. Schließlich noch ein paar kleine Korrekturen mit dem Aquarellstift.

Links das Ergebnis. Ich denke, die Rettung ist gelungen.

Landschaften – Niederrhein und Eifel

Am_Hochneukircher_FliessDer Weg zum jüdischen Friedhof von Hochneukirch folgt einem kleinen Graben, genannt Hochneukircher Fließ. Nach heftigen Regen ist er mit Wasser gefüllt, das mehr oder weniger träge dahin fließt – so viel zum Namen “Fließ”. Die Aquarellstiftzeichnung zeigt den Weg zum Friedhof und die Felder in der Nähe des jüdischen Friedhofs. Der liegt hinter den hohen Bäumen auf der rechten Seite des Bildes. Weitere Landschaftsskizzen von verschiedenenen Wanderungen (Niederrhein, Eifel, Hohes Venn) hier .

 

Die Straßen von San Francisco …

Greenwich St_SF_Bild… benutze ich, um mein neues Computerprogramm zu testen. Es geht wieder einmal um die (zentral-) perspektivische Abbildung. Ein einfaches Programm, stellt Quader in Übereckansicht, in Frosch- und Vogelperspektive dar, berechnet Fluchtpunkte und Fluchtlinien, und zeichnet den zur Blickrichtung  gehörenden Horizont. Keine realistischen Ansichten, nur Ränder und Umrisse werden angedeutet. Dem Augenschein nach rechnet es korrekt. Auf dem Bildschirm erscheint der Quader mit einem, zwei oder drei Fluchtpunkten, von oben, von unten und von der Seite, aus der Nähe, aus der Ferne – Ansichten, wie man sie aus dem Lehrbuch kennt.  Aber wie ist es mit ungewöhnlichen Perspektiven? Auch sie sollten richtig wiedergegeben werden. Zum Beispiel Straßen mit starkem Gefälle und/oder großer Steigung  – und solche gibt es in San Francisco zuhauf. Zum Test wählen wir die Greenwich Street in der North Beach Area, eine Parallelstraße der bekannten Lombard Street.

 

Das Foto zeigt den Blick entlang der Greenwich St. , vom Pioneer Park auf dem Telegraf Hill hinüber zum Russian Hill. Der Pioneer Park liegt auf einer Höhe von etwa 60 m. Von hier aus geht es, mit Unterbrechungen durch die Querstraßen Grant und Stockton, bergab zur Powell St. Wir befinden uns jetzt auf  einer Höhe von ca. 20 m. Auf diesem Niveau bleibt die Greenwich St. bis zur Taylor St. (und kreuzt dabei die Columbus Avenue). Danach steigt sie wieder an bis zur Hyde St., die hier am Lombard St. Reservoir vorbeiführt. Der Wasserspeicher liegt an der Leavenworth St. auf einer Höhe von etwa 100 m – und damit ungefähr 40 m oberhalb des Kamerastandortes.

Greenwich St_SF_Fluchtlinien_und_ BildDieses Höhenprofil erhält das Programm als Eingabendaten. Ausgeben soll es die Ränder der Greenwich St. und, bis zur Kreuzung mit der Grant St., auch eine Andeutung der Dachhöhen der Häuser. Das zweite Bild zeigt,  was der Computer errechnet hat. Es sieht vernünftig aus. Die Dachhöhen- und Bodenlinien der Häuser im Vordergrund habe ich bis zu ihrem Fluchtpunkt verlängern lassen (rote Linien). Der liegt erwartungsgemäß sehr weit unten im Bild (Andere Fluchtpunkte sollte das Programm der Übersichtlichkeit halber nicht einzeichnen). Der Horizont ist die grüne waagerechte Linie im oberen Viertel des Bildes.  Vergrößert man das Foto, sieht man, dass er mit dem Niveau der Leavenworth St. zusammenfällt. Die verläuft dort in etwa 60 m Höhe – Horizont und Kamerahöhe stimmen also überein, wie es die Perspektive  verlangt. Fazit: wenn sich jetzt noch bugs im Code aufhalten, haben sie sich gut versteckt. Der Computer rechnet mit großer Wahrscheinlichkeit richtig.

Ein Abriss der Mathematik, nach der das Computerprogramm arbeitet, findet sich hier.

Künstlerkolonie Mathildenhöhe Darmstadt

 

Mathildenhöhe_02_M2Die Künstlerkolonie auf der Mathildenhöhe in Darmstadt soll UNESCO Weltkulturerbe werden. Das hat die Kultusministerkonferenz der Bundesrepublik beantragt. Die Mathildenhöhe ist bekannt für ihre Jugendstilbauten, die Anfang des vorigen Jahrhunderts dort entstanden. Ich habe dort einige Semester während meines Studiums gewohnt. Beim letzten Besuch in Darmstadt machte ich Fotos, Vorlagen für die Skizzen, die hier zu sehen sind. Das Bild zeigt den Schwanentempel, der kürzlich restauriert wurde.

Die Freunde der Mathildenhöhe e.V. haben bei der Restaurierung des Schwanentempels mitgewirkt und  unterstützen die Stadt Darmstadt bei ihrem Vorhaben, die Mathildenhöhe als Weltkulturerbe anerkennen zu lassen.