Kategorie: Computergrafik

Das Problem, Spiegelungen zentralperspektivisch darzustellen, lässt mir keine Ruhe. Inzwischen bin ich zwar sicher, dass mein Computerprogramm vernünftige Ergebnisse liefert (mehr dazu hier). Aber neu ist die Erkenntnis, dass man das perspektivische Bild einer Spiegelung auch mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Die alten Meister wussten offenbar, wie man das macht, sie hatten noch keine Computer.  Dieses Wissen ist natürlich nicht verloren gegangen, Anleitungen für solche Konstruktionen findet man in der Literatur zur Genüge.

Damit ergibt sich die Frage: sind diese Konstruktionsanleitungen verträglich mit der Mathematik, die ich im Computerprogramm benutze? Zwei einfache Beispiele habe ich „durchgerechnet” – sie sind es. Die Skizze zeigt eine dieser Konstruktionen¹: Das Spiegelbild (blau) eines Quaders (schwarz) an einem vertikalen Spiegel (rot). Das andere Beispiel ist die Spiegelung an einer Wasseroberfläche. Details zu den beiden Rechnungen hier.

¹ nach Bruce MacEvoy: elements of perspective, www.handprint.com/HP/WCL/perspect6.html

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Das Bild, das ein Spiegel oder eine ebene Wasseroberfläche von einem Gegenstand erzeugt, folgt den Gesetzen der Optik: Der Lichtstrahl, der von einem Punkt des Gegenstandes ausgeht und unser Auge trifft, wird an der Spiegelebene so reflektiert, dass Einfalls- und Ausfallswinkel gleich sind. Eine einfache Sache. Schwieriger wird es, wenn Gegenstand und Spiegelbild, wie zum Beispiel in der Malerei, zentralperspektivisch darzustellen sind. Eine perspektivisch richtige Darstellung kann man berechnen. Dazu benötigt man etwas Lineare Algebra –  nur ein paar Grundkenntnisse über Matrizen und Vektoren. Sie sind ohne Schwierigkeiten in ein Computerprogramm einzubauen. Das habe ich getan. Von dem Programm will man natürlich wissen, ob es richtig rechnet. Also muss ein Test her.

Mein Computerprogramm ist einfach: Es kann nur einen einzigen geometrischen Körper spiegeln, nämlich einen Quader (ein Gebilde von der Form einer Streichholzschachtel). Gesucht war deshalb ein Foto mit einem Objekt, das sich durch einen Quader annähern lässt, und das auch noch gepiegelt wird. Das Gebäude auf dem Bild links erschien  mir als Testobjekt geeignet. Es liegt auf einer kleinen Anhöhe im Hintergrund des Bildes und spiegelt sich in einem Teich im Vordergrund. Wen es interessiert: es ist das Badehaus im Schlosspark von Reinhardtsgrimma  (Ortsteil von Glashütte in Sachsen). Mein Testobjekt wird zum Quader vereinfacht und dann dem Computerprogramm zur Verarbeitung eingegeben. Der zeichnet die Umrisse von Quader (Original) und Spiegelbild auf den Bildschirm. Ich habe sie in das Foto hineinkopiert. Die Fluchtlinien der horizontalen Quaderkanten laufen in zwei Fluchtpunkten zusammen, einer dieser Punkte ist sichtbar. Wie man sieht, hat der Computer richtig gerechnet – jedenfalls für den Fall horizontaler Spiegelebenen.

Natürlich sollte das Computerprogramm auch für andere Objekt/Spiegel-Anordnungen richtig rechnen. Die beiden Abbildungen rechts zeigen das Beispiel einer Spiegelung an einer vertikalen reflektierenden Ebene, im Alltagsleben als Wandspiegel bekannt. Oben das Foto, darunter der Computerausdruck. Der Vergleich zeigt, dass die Umrisse des Quaders recht gut berechnet werden. Das Computerprogramm liefert also auch in diesem Fall ein plausibles Ergebnis. Test bestanden. Mehr über die Mathematik der Spiegelung und das Programm hier.

Die Themen Primzahlteppiche und Eulersches Primzahlpolynom beschäftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolomé, Rung und Kern¹. In ihrem Buch über Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, für die der Wert des Terms T(x, y) = x² + y² eine Primzahl ist. Das Muster der Punkte lässt zwar keine große Ordnung erkennen (abgesehen von den trivialen Symmetrien bezüglich der Koordinatenachsen und des Nullpunkts), ist aber nicht zufällig. Variiert man T(x, y), entstehen andere Grafiken.

(1)  Hawkins Primes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)  Lucky Numbers

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)  Primzahlen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zahlenteppiche:  (1) Random Primes, (2) Lucky Numbers und (3) Primzahlen, siehe Text. Ein Klick auf die Abbildung vergrößert sie.

Meine Idee: Ich erweitere den Begriff des Primzahlteppichs auf den des Zahlenteppichs. Zahlenteppiche sind denmach kartesische Koordinatensysteme, in denen diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die der Wert eines geeigneten Rechenterms T(x, y) eine Zahl mit einer beliebigen, vorgegebenen Eigenschaft ist. Die Eigenschaft, Primzahl zu sein, wäre somit ein Spezialfall. Wählt man den „richtigen“ Term T(x, y), so dachte ich, müsste es möglich sein, interessante Teppichmuster auch für Zahlenmengen zu erzeugen, die sich durch andere Eigenschaften auszeichnen als prim zu sein.

Ich wähle den Term T(x, y) = x + y². Er liefert einen interessanten Primzahlteppich (dargestellt im Artikel Eulersches Primzahlpolynom). Die  Primzahlen werden bekanntlich durch ein Siebverfahren erzeugt, benannt nach seinem Entdecker Eratosthenes. Deshalb liegt es nahe, Zahlen zu testen, die auch durch ein Siebverfahren entstehen. Da gibt es zunächst die  „Glücklichen Zahlen“ (engl. Lucky Numbers²). Sie entstehen durch ein Sieb ähnlich dem des Eratosthenes. Es streicht aber die Zahlen im Sieb nicht aufgrund ihres Wertes (wie bei Eratosthenes), sondern aufgrund ihrer Position. Als dritte durch Sieben erzeugte Zahlenmenge soll die Folge der Hawkins Primes³ (oder Random Primes) betrachtet werden. Hawkins’ Sieb ist eine nicht-deterministische, vom Zufall gesteuerte Methode, unter den jeweils verbliebenen Zahlen zu streichen. Hier eine genaue Beschreibung der drei genannten Siebe.

Die Teppiche zum Term T(x, y) = x + y², die den genannten Zahlenmengen Primzahlen, Lucky Numbers und Hawkins Primes entsprechen, sind oben dargestellt. Das Ergebnis ist nicht umwerfend (leider), bestätigt aber unsere intuitive Vorstellung von Ordnung und Chaos in den drei Mengen. Wie erwartet, zeigt der Teppich der Hawkins Primes (Abbildung 1, oben) keinerlei Abweichungen von einer Zufallsverteilung. Die „Glücklichen Zahlen“ (Lucky Numbers) in Abbildung 2 (Mitte) dagegen lassen schon Ketten von Punkten in Richtung der Haupt- und Nebendiagonale erahnen. Im Teppich der Primzahlen (Abbildung 3, unten) schließlich sind diese Ketten zahlreicher und länger geworden – jedenfalls deutlich sichtbar. Zwei dieser Ketten entsprechen den Eulerschen Primzahlen x² ±  x + 41, in der Abbildung durch die Farbe Magenta hervorgehoben. Für  x < 41 haben sie keine Lücken, bestehen also ausschließlich aus Primzahlen. Für  x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen. Die mit grün markierten Primzahlpunkte gehören zu den Termen x² ±  x + 101 bzw. x² ±  x + 107. Siehe, wie schon erwähnt, den Beitrag Eulersches Primzahlpolynom.

 

¹  Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995), S.  75.
²  Hawkins, D., Briggs, W.E.: The Lucky Number Theorem, Mathematics Magazine 31 (1957), 81 – 84, 277 – 280.
³  Hawkins, David: The Random Sieve, Mathematics Magazine 31 (1957), 1 – 3.

… benutze ich, um mein neues Computerprogramm zu testen. Es geht wieder einmal um die (zentral-) perspektivische Abbildung. Ein einfaches Programm, stellt Quader in Übereckansicht, in Frosch- und Vogelperspektive dar, berechnet Fluchtpunkte und Fluchtlinien, und zeichnet den zur Blickrichtung  gehörenden Horizont. Keine realistischen Ansichten, nur Ränder und Umrisse werden angedeutet. Dem Augenschein nach rechnet es korrekt. Auf dem Bildschirm erscheint der Quader mit einem, zwei oder drei Fluchtpunkten, von oben, von unten und von der Seite, aus der Nähe, aus der Ferne – Ansichten, wie man sie aus dem Lehrbuch kennt.  Aber wie ist es mit ungewöhnlichen Perspektiven? Auch sie sollten richtig wiedergegeben werden. Zum Beispiel Straßen mit starkem Gefälle und/oder großer Steigung  – und solche gibt es in San Francisco zuhauf. Zum Test wählen wir die Greenwich Street in der North Beach Area, eine Parallelstraße der bekannten Lombard Street.

 

Das Foto zeigt den Blick entlang der Greenwich St. , vom Pioneer Park auf dem Telegraf Hill hinüber zum Russian Hill. Der Pioneer Park liegt auf einer Höhe von etwa 60 m. Von hier aus geht es, mit Unterbrechungen durch die Querstraßen Grant und Stockton, bergab zur Powell St. Wir befinden uns jetzt auf  einer Höhe von ca. 20 m. Auf diesem Niveau bleibt die Greenwich St. bis zur Taylor St. (und kreuzt dabei die Columbus Avenue). Danach steigt sie wieder an bis zur Hyde St., die hier am Lombard St. Reservoir vorbeiführt. Der Wasserspeicher liegt an der Leavenworth St. auf einer Höhe von etwa 100 m – und damit ungefähr 40 m oberhalb des Kamerastandortes.

Dieses Höhenprofil erhält das Programm als Eingabendaten. Ausgeben soll es die Ränder der Greenwich St. und, bis zur Kreuzung mit der Grant St., auch eine Andeutung der Dachhöhen der Häuser. Das zweite Bild zeigt,  was der Computer errechnet hat. Es sieht vernünftig aus. Die Dachhöhen- und Bodenlinien der Häuser im Vordergrund habe ich bis zu ihrem Fluchtpunkt verlängern lassen (rote Linien). Der liegt erwartungsgemäß sehr weit unten im Bild (Andere Fluchtpunkte sollte das Programm der Übersichtlichkeit halber nicht einzeichnen). Der Horizont ist die grüne waagerechte Linie im oberen Viertel des Bildes.  Vergrößert man das Foto, sieht man, dass er mit dem Niveau der Leavenworth St. zusammenfällt. Die verläuft dort in etwa 60 m Höhe – Horizont und Kamerahöhe stimmen also überein, wie es die Perspektive  verlangt. Fazit: wenn sich jetzt noch bugs im Code aufhalten, haben sie sich gut versteckt. Der Computer rechnet mit großer Wahrscheinlichkeit richtig.

Ein Abriss der Mathematik, nach der das Computerprogramm arbeitet, hier.

Setzt man im Term x² – x + 41 nacheinander x = 1, 2, 3, usw. bis x = 40, so erhält man die Zahlen 41, 43, 47, 53, usw. bis 1601, die allesamt Primzahlen sind. Dasselbe gilt für den Term x² + x + 41 und x = 1, 2, 3, usw. bis x = 39. Das war schon Euler¹ (1772) bekannt. Der Term wird deshalb auch nach ihm benannt (Eulersches Primzahl-Polynom). Für Werte x > 40 liefern er zwar keine ununterbrochene Folge von Primzahlen, aber immerhin etwa 7mal mehr als ein Zufallsgenerator, der vergleichbar große Zahlen erzeugt². Man kann diese Eigenschaft grafisch darstellen. Die Idee dazu ist der „Primzahlteppich“, eine mathematische Spielerei, die von Bartolomé, Rung und Kern in ihrem Buch über Zahlentheorie beschrieben wird³.

Deren Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die beispielsweise die Summe x + y, das Produkt xy oder irgendein anderer Rechenterm T(x, y) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den von mir gefundenen Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms zu Tage treten lässt. Er wird von T(x, y) = x² + y erzeugt. „Normale“ Primzahlen sind durch graue Karos gekennzeichnet, Eulersche durch Färbung in Magenta hervorgehoben. Man erkennt eine Häufung der grauen Karos, d. h. der „normalen“ Primzahlen, auf Streifen in Richtung der Haupt- und Nebendiagonalen (und auf einigen Parallelen zur x-Achse). Wie erwartet, liegen auch die Eulerschen Primzahlen auf Diagonalen: Der magenta gefärbte Streifen, der in der unteren Hälfte am linken Rand beginnt und unter 45° nach rechts unten verläuft, entspricht der Gleichung y = 41 – x. Setzt man dieses y in den Term T(x, y) = x² + y  ein, entsteht das Eulersche Polynom P(x) =  x² – x + 41. Ersetzt man x durch  – x, entsteht P(x) =  x² + x + 41. Diesem Polynom entspricht der magentafarbene Streifen, der unter 45° nach rechts oben verläuft. Die Grafik zeigt, dass beide Streifen für x ≦ 40 keine Lücken haben, also ausschließlich aus Primzahlen bestehen. Für  x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen.

¹ Euler, Leonhard, zitiert in http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl.
² Hardy, Godfrey H.  und  John E. Littlewood,  zitiert in http://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral.
³ Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995). Siehe auch meine eigenen Primzahlteppiche.