Verschiedenes

2018

2018_KratzerHintergrund 2018 ist eine unscheinbare Zahl. Da lohnt sich ein Ausflug in die Zahlentheorie kaum. Wir versuchen es trotzdem:  2018 hat nur zwei Primfaktoren (2018 = 2·1009), ist also eine Fast-Primzahl. Was macht man, wenn man mehr wissen will? Man schaut in der OEIS nach, der Online Encyclopedia of Integer Sequences1. Dort findet man die übrigen Fast-Primzahlen mit nur zwei Primfaktoren (Semiprimes) unter der Nummer A001358.  Die Folge beginnt mit 4, 6, 10, 14, 15, … In den Bemerkungen zu A001358  liest man, dass große Semiprimes mit verschiedenen Primfaktoren in der RSA-Verschlüsselung benutzt werden. Es geht um Zahlen mit beispielsweise 129 Ziffern (RSA-129) – oder noch mehr Ziffern (RSA-140, …). In dieser Liga spielt 2018 natürlich nicht, zur Familie gehört sie aber.

Deshalb ein kleiner Spaß: Wir RSA-verschlüsseln einen Text mit n = 2018, also p = 2 und q = 1009 (n = p·q). Als zweite Zahl des öffentlichen Schlüsselpaares (n, e) wählen wir e = 521 (Eine willkürliche Wahl, e muss aber teilerfremd zum Wert φ (2018) = (p – 1)·(q – 1) = 1·1008 der Eulerfunktion sein). Wir verschlüsseln also gemäß  y = xe mod n = x521 mod 2018. Dabei ist x das Klartextzeichen, y das entsprechende Zeichen der verschlüsselten Nachricht. Unser Klartext sei ASCII-codiert, er besteht damit aus Blöcken x mit je zwei Ziffern. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Bereich der ASCII-Codes 32..90. Der Großbuchstabe „A“ (ASCII-Code x = 65) beispielsweise wird zu y = 65521 mod 2018 = 483 verschlüsselt. Um den Zeichen des verschlüsselten Textes eine einheitliche Länge von 4 Stellen zu geben, fügen wir bei dreistelligen Zahlen y links eine Null hinzu. Unsere gesamte verschlüsselte Nachricht lautet (jeder 4-er Block stellt ein verschlüsseltes zweistelliges ASCII-Zeichen dar)2:

0483 0718 0718 0823 0395 1270 0557 0587 1986 0823 1270 1462 0587 0823 1036 1270 0398 0174 0225 1970

Zum Entschlüsseln benötigen wir den geheimen Schlüssel. Der setzt sich zusammen aus n = 2018 und einer Zahl d,  die der Bedingung genügt                d·e  =  1 mod φ (2018) = 1 mod 1008. Das führt zu d = 89. Die ASCII-Zeichen des Klartextes werden also mit Hilfe von x = y89 mod 2018 zurückgewonnen. Beispiel: Das Zeichen y = 0483 des verschlüsselten Textes wird zu x = 48389 mod 2018 = 65 im Klartext, also zum vorhin verschlüsselten „A“. Und jetzt die Hausaufgabe: wie lautet die obige Nachricht im Klartext? Ein guter Taschenrechner und eine ASCII-Tabelle wären bei der Lösung hilfreich. Knobeln führt vielleicht auch zum Ziel – Spaß muss sein.

https://oeis.org
Nochmals: Dies ist ein kleiner Scherz, keine ernsthafte Verschlüsselung.

Serliana

Serliana_04

Der italienische Architekt Sebastiano Serlio gilt als der Urheber der Fensteranordnung, die in Anlehnung an seinen Namen “Serliana” genannt wird. Es ist ein Architekturelement, das man an vielen Gebäuden in Venedig und im Veneto antrifft (“Venezianisches Fenster”). Die Anordnung besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Rundbogen und zwei kleineren und schmaleren Rechtecken, die es links und rechts flankieren (Grafik). Über den seitlichen Rechtecken können sich kleine Rundfenster (Oculi) befinden. Palladio gestaltete nicht nur Fenster, sondern auch Portale in dieser Form, zu sehen beispielsweise in der Außenfassade der Markthalle (“Basilica”) von Vicenza. Als Strukturelement von Gebäudefassaden wurde die Serliana später vielfach zitiert. Selbst moderne Architekten machen von ihr Gebrauch.

Auf einer Studienfahrt durch Oberitalien sah ich Serlios Fenster zum ersten Mal. Seine Form prägt sich sehr gut ein; so gut, dass ich es später mehrfach auch nördlich der Alpen entdeckte. Der Mittelrisalit des Städel-Museums in Frankfurt am Main zum Beispiel enthält zwei solcher Elemente. Eins dient als Eingangsportal im Erdgeschoss, das andere befindet sich im Stockwerk darüber. Seit einiger Zeit fotografiere ich Fenster à la Serliana (und moderne Abwandlungen derselben), wenn ich sie zufällig sehe. Hier meine ersten Exemplare.

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Städel-Museum Frankfurt am Main

Luettich

Lüttich

Neue Pinakothek Muenchen

Neue Pinakothek München

Muenster(Westfalen)

Münster (Westfalen)

 
 
 
 

Denkwürdige Orte

CIMG1418_MDas Foto: Ein herbstlicher Park mit Blick auf den Rhein. Links eine mehr oder weniger unauffällige Reihe von Glasscheiben – Panzerglas, es sollte das dahinterliegende Gebäude vor Beschuss (Terroranschlag) schützen. Das Gebäude (auf dem Foto nicht zu sehen) ist der ehemalige Kanzlerbungalow im Regierungsviertel in Bonn. Ein denkwürdiger Ort, hier wurde Geschichte gemacht.

Nicht nur der Kanzlerbungalow hat seine “Geschichte”, auch weniger bekannte Orte können Interessantes erzählen. Ich habe Fotos von solchen Orten gesammelt. Sie wurden, aus welchen Gründen auch immer, meist aber beiläufig, gemacht. Daraus ist ein Quiz entstanden. Hier sind die Fotos mit den zugehörigen Fragen und dort die Antworten.

Licht und Farbe in der Natur

… je nach Tageszeit verschieden. Foto links: morgens, rechts: mittags, Mitte: abends.

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Drei Fotos des Grand Canyons, aufgenommen  zu verschiedenen Tageszeiten. Wenn von Licht und Farbe in der Natur die Rede ist, sollte der Hinweis auf zwei Bücher nicht fehlen: Minnaerts Klassiker Light and Color in the Outdoors1 und das modernere Pendant Color and Light in Nature von Lynch und Livingston2. Die Titel deuten es an: Thema ist alles, was sich an optischen Erscheinungen unter freiem Himmel abspielt. Hier ein Versuch, die Bilder im Sinne dieser außergewöhnlichen Physikbücher zu erläutern.

1  Marcel G. J. Minnaert: Light and Color in the Outdoors, Springer-Verlag New York-Berlin-Heidelberg, 1993 (5. Auflage). Es gibt,
soweit ich weiß, eine frühere Übersetzung des in Niederländisch geschriebenen Originals mit dem Titel: The Nature of Light and
Color in the Open Air (Dover Publications, New York, 1954).
2  David K. Lynch und William Livingston: Color and Light in Nature, Cambridge University Press, 1995

 

Vor 20 Jahren: Hale-Bopp am Himmel

Hale_Bopp_vom_Garten_ausVor genau 20 Jahren war der Komet Hale-Bopp mit bloßem Auge zu sehen. Eine kleine Notiz zur Erinnerung an das Himmelsereignis ist da angebracht. Das Foto wurde im eigenen Garten aufgenommen, Blickrichtung NNW.  Der Komet steht zwischen den Sternen Algol im Sternbild Perseus und Alamak im Sternbild Andromeda (zweites Foto unten). Geschätzte Position: RA = 2h 38m, Delta = +41°. Aus der Ephemeridentabelle1 entnimmt man, dass Hale-Bopp dort am 07. April 1997 stand. Die beiden Schweife sind auf dem schwarz-weiß-Foto gut sichtbar.

1 http://www2.jpl.nasa.gov/comet/ephemjpl8.html

 

 

Hale_Bopp_mit_Sternbildern_02

Fibonacci-Rechtecke

Fibonacci_RechteckeEine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge:

Nimm die Folge (Fn) =  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… (n = 0, 1, 2 , 3 …) der Fibonacci-Zahlen1 und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0×1 = 0, 1×1 = 1, 1×2 = 2, 2×3 = 6, 3×5 = 15, 5×8 = 40, usw. Die Produkte 0, 1, 2, 6, 15, 40, usw. sind die Flächeninhalte der so genannten Fibonacci-Rechtecke2 mit den Seitenlängen (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), ….  Addiere die ersten n Flächeninhalte. Dann entsteht die Zahlenfolge (an) =  0, 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441, 1155, 3025, …, die Summe der Fläche der ersten n Fibonacci-Recktecke3.  In der Abbildung sind die Fibonacci-Rechtecke spiralförmig aneinander gelegt. Man erkennt sofort, dass jedes zweite Rechteck die bisher angelegten zu einem Quadrat ergänzt. Das heißt, jedes zweite Glied der Folge (an) ist eine Quadratzahl: 1 = 12, 9 = 32, 64 = 82, 441 = 212 und 3025 = 552, und zwar das Quadrat einer Fibonacci-Zahl mit geradem Index: 12 = F22, 32  = F42, 82 = F62, 212 = F82. Beweis durch vollständige Induktion.

Die Fibonacci-Rechteck-Spirale ist sicher keine Entdeckung von mir. Ich habe sie aber bisher in der Literatur noch nicht gefunden. Wen es interessiert, zwei kleine Notizen zum Thema: Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt und Formel von Moivre/Binet. Oder wie wär’s mit einem Ausflug in die Lineare Algebra: Moivre/Binet (Beweis mit LA) .

… und da gerade das Stichwort “Fibonacci” fällt, hier noch ein Nachtrag zur Jahreszahl 2017. Nach Zeckendorf kann jede natürliche Zahl n  > 0  eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden. Die Zeckendorf-Zerlegung unserer Jahreszahl ist 2017 = 1597 + 377 + 8 + 1.

 

1     The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (A000045)
2     a. a. O., (A001654)
3     a. a. O., (A064831)

Kacheln

Kachel_Olbrich_Haus_04Die Stadt Darmstadt bemüht sich um die Anerkennung ihrer Künstlerkolonie Mathildenhöhe als UNESCO-Weltkulturerbe. Dabei wird sie von vielen Seiten unterstützt, u. a. auch vom Verein der Freunde der Mathildenhöhe e.V. Der feierte am 10. Januar 2017 sein 10-jähriges Bestehen. Als Mitglied in diesem Verein nahm ich das zum Anlass, mich wieder einmal mit Jugendstil-Ornamenten zu beschäftigen. Bei der Suche nach Vorlagen für eigene “künstlerische Versuche” stieß ich (nicht ganz zufällig) auf das Muster der blau-weißen Kacheln am Haus Olbrich (Abbildung links). Die ersten “Versuche” waren Farbbdrucke mit Schablonen – in keiner Weise originell.

Motiv_Variation_Kachel_Olbrich_Haus_neu_02 Enttäuschung und Frust führten zu einer etwas gewagteren Interpretation des Kachelmusters.

 

 

2017 – ein Primzahljahr

2017_Jahreszahl_022017 – nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.  2011 war das letzte Primzahljahr, das nächste ist 2027, also erst 10 Jahre später. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2²×3×5 der Primzahlen 2, 3 und 5.

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schließlich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid – und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 übrig lässt (2017 = 4×504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen – nach Fermat’s berühmtem Zwei-Quadrate-Satz1. Der Satz gilt für alle Primzahlen größer als 2. Beispiele: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1². In unserem Fall ist 2017 = 44² + 9². Also notieren wir:

2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie lässt sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44² + 9² (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat).

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1/2017.