Kategorie: Verschiedenes

Denkwürdige Orte

CIMG1418_MDas Foto: Ein herbstlicher Park mit Blick auf den Rhein. Links eine mehr oder weniger unauffällige Reihe von Glasscheiben – Panzerglas, es sollte das dahinterliegende Gebäude vor Beschuss (Terroranschlag) schützen. Das Gebäude (auf dem Foto nicht zu sehen) ist der ehemalige Kanzlerbungalow im Regierungsviertel in Bonn. Ein denkwürdiger Ort, hier wurde Geschichte gemacht.

Nicht nur der Kanzlerbungalow hat seine „Geschichte“, auch weniger bekannte Orte können Interessantes erzählen. Ich habe Fotos von solchen Orten gesammelt. Sie wurden, aus welchen Gründen auch immer, meist aber beiläufig, gemacht. Daraus ist ein Quiz entstanden. Hier sind die Fotos mit den zugehörigen Fragen und dort die Antworten.

Licht und Farbe in der Natur

… je nach Tageszeit verschieden. Foto links: morgens, rechts: mittags, Mitte: abends.

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Drei Fotos des Grand Canyons, aufgenommen  zu verschiedenen Tageszeiten. Wenn von Licht und Farbe in der Natur die Rede ist, sollte der Hinweis auf zwei Bücher nicht fehlen: Minnaerts Klassiker Light and Color in the Outdoors1 und das modernere Pendant Color and Light in Nature von Lynch und Livingston2. Die Titel deuten es an: Thema ist alles, was sich an optischen Erscheinungen unter freiem Himmel abspielt. Hier ein Versuch, die Bilder im Sinne dieser außergewöhnlichen Physikbücher zu erläutern.

1  Marcel G. J. Minnaert: Light and Color in the Outdoors, Springer-Verlag New York-Berlin-Heidelberg, 1993 (5. Auflage). Es gibt,
soweit ich weiß, eine frühere Übersetzung des in Niederländisch geschriebenen Originals mit dem Titel: The Nature of Light and
Color in the Open Air (Dover Publications, New York, 1954).
2  David K. Lynch und William Livingston: Color and Light in Nature, Cambridge University Press, 1995

 

Vor 20 Jahren: Hale-Bopp am Himmel

Hale_Bopp_vom_Garten_ausVor genau 20 Jahren war der Komet Hale-Bopp mit bloßem Auge zu sehen. Eine kleine Notiz zur Erinnerung an das Himmelsereignis ist da angebracht. Das Foto wurde im eigenen Garten aufgenommen, Blickrichtung NNW.  Der Komet steht zwischen den Sternen Algol im Sternbild Perseus und Alamak im Sternbild Andromeda (zweites Foto unten). Geschätzte Position: RA = 2h 38m, Delta = +41°. Aus der Ephemeridentabelle1 entnimmt man, dass Hale-Bopp dort am 07. April 1997 stand. Die beiden Schweife sind auf dem schwarz-weiß-Foto gut sichtbar.

1 http://www2.jpl.nasa.gov/comet/ephemjpl8.html

 

 

Hale_Bopp_mit_Sternbildern_02

Fibonacci-Rechtecke

Fibonacci_RechteckeEine kleine Spielerei mit der bekannten Zahlenfolge:

Nimm die Folge (Fn) =  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… (n = 0, 1, 2 , 3 …) der Fibonacci-Zahlen1 und bilde die Produkte benachbarter Zahlen 0×1 = 0, 1×1 = 1, 1×2 = 2, 2×3 = 6, 3×5 = 15, 5×8 = 40, usw. Die Produkte 0, 1, 2, 6, 15, 40, usw. sind die Flächeninhalte der so genannten Fibonacci-Rechtecke2 mit den Seitenlängen (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), ….  Addiere die ersten n Flächeninhalte. Dann entsteht die Zahlenfolge (an) =  0, 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441, 1155, 3025, …, die Summe der Fläche der ersten n Fibonacci-Recktecke3.  In der Abbildung sind die Fibonacci-Rechtecke spiralförmig aneinander gelegt. Man erkennt sofort, dass jedes zweite Rechteck die bisher angelegten zu einem Quadrat ergänzt. Das heißt, jedes zweite Glied der Folge (an) ist eine Quadratzahl: 1 = 12, 9 = 32, 64 = 82, 441 = 212 und 3025 = 552, und zwar das Quadrat einer Fibonacci-Zahl mit geradem Index: 12 = F22, 32  = F42, 82 = F62, 212 = F82. Beweis durch vollständige Induktion.

Die Fibonacci-Rechteck-Spirale ist sicher keine Entdeckung von mir. Ich habe sie aber bisher in der Literatur noch nicht gefunden. Wen es interessiert, zwei kleine Notizen zum Thema: Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt und Formel von Moivre/Binet. Oder wie wär’s mit einem Ausflug in die Lineare Algebra: Moivre/Binet (Beweis mit LA) .

… und da gerade das Stichwort „Fibonacci“ fällt, hier noch ein Nachtrag zur Jahreszahl 2017. Nach Zeckendorf kann jede natürliche Zahl n  > 0  eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden. Die Zeckendorf-Zerlegung unserer Jahreszahl ist 2017 = 1597 + 377 + 8 + 1.

 

1     The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (A000045)
2     a. a. O., (A001654)
3     a. a. O., (A064831)

Kacheln

Kachel_Olbrich_Haus_04Die Stadt Darmstadt bemüht sich um die Anerkennung ihrer Künstlerkolonie Mathildenhöhe als UNESCO-Weltkulturerbe. Dabei wird sie von vielen Seiten unterstützt, u. a. auch vom Verein der Freunde der Mathildenhöhe e.V. Der feierte am 10. Januar 2017 sein 10-jähriges Bestehen. Als Mitglied in diesem Verein nahm ich das zum Anlass, mich wieder einmal mit Jugendstil-Ornamenten zu beschäftigen. Bei der Suche nach Vorlagen für eigene „künstlerische Versuche“ stieß ich (nicht ganz zufällig) auf das Muster der blau-weißen Kacheln am Haus Olbrich (Abbildung links). Die ersten „Versuche“ waren Farbbdrucke mit Schablonen – in keiner Weise originell.

Motiv_Variation_Kachel_Olbrich_Haus_neu_02 Enttäuschung und Frust führten zu einer etwas gewagteren Interpretation des Kachelmusters.

 

 

2017 – ein Primzahljahr

2017_Jahreszahl_022017 – nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.  2011 war das letzte Primzahljahr, das nächste ist 2027, also erst 10 Jahre später. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2²×3×5 der Primzahlen 2, 3 und 5.

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schließlich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid – und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 übrig lässt (2017 = 4×504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen – nach Fermat’s berühmtem Zwei-Quadrate-Satz1. Der Satz gilt für alle Primzahlen größer als 2. Beispiele: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1². In unserem Fall ist 2017 = 44² + 9². Also notieren wir:

2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie lässt sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44² + 9² (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat).

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1/2017.

„Nach den Dächern, Wolken, Schwalben…

Antoniterkirche_und_Dom_Koeln… schaut er aufwärts allenthalben“ – das macht er auch heute noch. Hans Guck-in-die-Luft¹ blickt nach oben und fotografiert, was er dort sieht. Zum Beispiel den Dachreiter der Antoniterkirche, der sich vor den Nordturm des Doms schiebt. Weitere Blicke nach oben, nicht nur aus Köln am Rhein.

¹ Mehr über Hans-guck-in-die-Luft bei Heinrich Hoffmann, Der Struwwelpeter, Frankfurt am Main, Verlag von Zacharias Löwenthal, 1845

2016 – pseudovollkommen und hexagonal

2016_mit_Schlingpflanzen_01Was hat das Jahr 2016 zu bieten – ich meine in mathematischer Hinsicht? Viel habe ich nicht entdeckt – aber auch nicht sehr eifrig nachgeforscht. Immerhin hat 2016 eine stattliche Anzahl von Teilern. Es sind genau 36, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 und 2016. Streicht man aus dieser Liste die Zahl 2016, bleiben die echten Teiler. Damit lässt sich etwas anfangen: Bildet man die Summe aus den echten Teilern 336, 672 und 1008, erhält man 2016. Auch andere Summen von (echten) Teilern ergeben 2016, z. B. 84 + 252 + 672 + 1008 = 2016. Zahlen, die sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler schreiben lassen, heißen pseudovollkommen. Also ist das neue Jahr zwar nicht ganz vollkommen, aber immerhin pseudovollkommen (Vollkommen heißen die Zahlen, die gleich der Summe aller ihrer echten Teiler sind, Beispiel 6 = 1 + 2 + 3). Auf seine Pseudovollkommenheit kann sich 2016 aber nicht viel einbilden: Es ist nämlich durch 6 teilbar – und ein (fast trivialer) Satz der Mathematik besagt, dass alle durch 6 teilbaren Zahlen pseudovollkommen sind. Beweis: Jede Zahl von der Form 6k mit k = 1, 2, 3, … lässt sich schreiben als 6k = k + 2k + 3k, so dass jeder der Summanden 6k teilt. In unserem Fall ist k = 336. Also gilt 2016 = 6·336 = 336 + 2·336 + 3·336 =  336 + 672 + 1008. Das ist die oben genannte Zerlegung.

Interessant ist noch, dass 2016 eine Sechseckzahl (Hexagonalzahl) ist. Hexagonalzahlen erhält man, indem man eine Reihe Steine zur Hand nimmt und wie folgt anordnet: Man startet mit einem Stein, legt weitere 5 Steine so an, dass ein Sechseck mit der Seitenlänge von 2 Steinen entsteht. Dann verlängert man zwei benachbarte Seiten um je einen Stein und fügt weitere 7 Steine so hinzu, dass ein größeres Sechseck mit der Seitenlänge von 3 Steinen entsteht. Fährt man in dieser Weise fort, erhält man die Folge der Hexagonalzahlen 1, 6, 15, 28, 45, … . Die zweiunddreißigste Zahl in dieser Folge ist 2016. Man kann zeigen, dass die n-te Hexagonalzahl sich als n(2n – 1) schreiben lässt. Damit ist 2016 = 32·(64 – 1).

Jede Hexagonalzahl ist im Übrigen auch eine Dreieckszahl. Das heißt, man kann 2016 Steine (in der Ebene) so anordnen, dass sie ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck bilden. Die Folge der Dreieckszahlen beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, …. Die zugehörigen Dreiecke haben die Seitenlängen 1, 2, 3, 4, usw. Allgemein gilt: Ist die Seitenlänge n, enthält das Dreieck n(n + 1)/2 Steine. Man rechnet leicht nach, dass das Dreieck mit 2016 Steinen die Seitenlänge n = 63 hat: 2016 = 63×64/2