Verschiedenes

2017 – ein Primzahljahr

2017_Jahreszahl_022017 – nach sechs Jahren endlich wieder eine Primzahl.  2011 war das letzte Primzahljahr, das nächste ist 2027, also erst 10 Jahre später. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Sie weigern sich, in ein Produkt zerlegt zu werden, sind aber gerne bereit, als Faktoren in normalen Zahlen aufzutreten. Die Zahl 60 zum Beispiel ist gleich dem Produkt 2²×3×5 der Primzahlen 2, 3 und 5.

Dass 2017 eine Primzahl ist, regt uns nicht auf. Schließlich gibt es unendlich viele davon, das wusste schon Euklid – und konnte es auch beweisen. Das Besondere an 2017 ist, dass die Zahl bei Division durch 4 den Rest 1 übrig lässt (2017 = 4×504 + 1). Nur Primzahlen mit dieser Eigenschaft lassen sich in eine Summe von genau zwei Quadratzahlen zerlegen – nach Fermat’s berühmtem Zwei-Quadrate-Satz1. Der Satz gilt für alle Primzahlen größer als 2. Beispiele: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1². In unserem Fall ist 2017 = 44² + 9². Also notieren wir:

2017 ist eine Primzahl, die durch 4 geteilt, den Rest 1 ergibt. Sie lässt sich daher als Summe von 2 Quadraten schreiben: 2017 = 44² + 9² (Zwei-Quadrate-Satz von Fermat).

Weitere Besonderheiten von 2017 als Primzahl tun sich auf, wenn man die Zahl in den Nenner eines (echten) Bruches schreibt, zum Beispiel 1/2017.

2016 – pseudovollkommen und hexagonal

2016_mit_Schlingpflanzen_01Was hat das Jahr 2016 zu bieten – ich meine in mathematischer Hinsicht? Viel habe ich nicht entdeckt – aber auch nicht sehr eifrig nachgeforscht. Immerhin hat 2016 eine stattliche Anzahl von Teilern. Es sind genau 36, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 und 2016. Streicht man aus dieser Liste die Zahl 2016, bleiben die echten Teiler. Damit lässt sich etwas anfangen: Bildet man die Summe aus den echten Teilern 336, 672 und 1008, erhält man 2016. Auch andere Summen von (echten) Teilern ergeben 2016, z. B. 84 + 252 + 672 + 1008 = 2016. Zahlen, die sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler schreiben lassen, heißen pseudovollkommen. Also ist das neue Jahr zwar nicht ganz vollkommen, aber immerhin pseudovollkommen (Vollkommen heißen die Zahlen, die gleich der Summe aller ihrer echten Teiler sind, Beispiel 6 = 1 + 2 + 3). Auf seine Pseudovollkommenheit kann sich 2016 aber nicht viel einbilden: Es ist nämlich durch 6 teilbar – und ein (fast trivialer) Satz der Mathematik besagt, dass alle durch 6 teilbaren Zahlen pseudovollkommen sind. Beweis: Jede Zahl von der Form 6k mit k = 1, 2, 3, … lässt sich schreiben als 6k = k + 2k + 3k, so dass jeder der Summanden 6k teilt. In unserem Fall ist k = 336. Also gilt 2016 = 6·336 = 336 + 2·336 + 3·336 =  336 + 672 + 1008. Das ist die oben genannte Zerlegung.

Interessant ist noch, dass 2016 eine Sechseckzahl (Hexagonalzahl) ist. Hexagonalzahlen erhält man, indem man eine Reihe Steine zur Hand nimmt und wie folgt anordnet: Man startet mit einem Stein, legt weitere 5 Steine so an, dass ein Sechseck mit der Seitenlänge von 2 Steinen entsteht. Dann verlängert man zwei benachbarte Seiten um je einen Stein und fügt weitere 7 Steine so hinzu, dass ein größeres Sechseck mit der Seitenlänge von 3 Steinen entsteht. Fährt man in dieser Weise fort, erhält man die Folge der Hexagonalzahlen 1, 6, 15, 28, 45, … . Die zweiunddreißigste Zahl in dieser Folge ist 2016. Man kann zeigen, dass die n-te Hexagonalzahl sich als n(2n – 1) schreiben lässt. Damit ist 2016 = 32·(64 – 1).

Jede Hexagonalzahl ist im Übrigen auch eine Dreieckszahl. Das heißt, man kann 2016 Steine (in der Ebene) so anordnen, dass sie ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck bilden. Die Folge der Dreieckszahlen beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, …. Die zugehörigen Dreiecke haben die Seitenlängen 1, 2, 3, 4, usw. Allgemein gilt: Ist die Seitenlänge n, enthält das Dreieck n(n + 1)/2 Steine. Man rechnet leicht nach, dass das Dreieck mit 2016 Steinen die Seitenlänge n = 63 hat: 2016 = 63×64/2