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2016 – pseudovollkommen und hexagonal

2016_mit_Schlingpflanzen_01Was hat das Jahr 2016 zu bieten – ich meine in mathematischer Hinsicht? Viel habe ich nicht entdeckt – aber auch nicht sehr eifrig nachgeforscht. Immerhin hat 2016 eine stattliche Anzahl von Teilern. Es sind genau 36, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 und 2016. Streicht man aus dieser Liste die Zahl 2016, bleiben die echten Teiler. Damit lässt sich etwas anfangen: Bildet man die Summe aus den echten Teilern 336, 672 und 1008, erhält man 2016. Auch andere Summen von (echten) Teilern ergeben 2016, z. B. 84 + 252 + 672 + 1008 = 2016. Zahlen, die sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler schreiben lassen, heißen pseudovollkommen. Also ist das neue Jahr zwar nicht ganz vollkommen, aber immerhin pseudovollkommen (Vollkommen heißen die Zahlen, die gleich der Summe aller ihrer echten Teiler sind, Beispiel 6 = 1 + 2 + 3). Auf seine Pseudovollkommenheit kann sich 2016 aber nicht viel einbilden: Es ist nämlich durch 6 teilbar – und ein (fast trivialer) Satz der Mathematik besagt, dass alle durch 6 teilbaren Zahlen pseudovollkommen sind. Beweis: Jede Zahl von der Form 6k mit k = 1, 2, 3, … lässt sich schreiben als 6k = k + 2k + 3k, so dass jeder der Summanden 6k teilt. In unserem Fall ist k = 336. Also gilt 2016 = 6·336 = 336 + 2·336 + 3·336 =  336 + 672 + 1008. Das ist die oben genannte Zerlegung.

Interessant ist noch, dass 2016 eine Sechseckzahl (Hexagonalzahl) ist. Hexagonalzahlen erhält man, indem man eine Reihe Steine zur Hand nimmt und wie folgt anordnet: Man startet mit einem Stein, legt weitere 5 Steine so an, dass ein Sechseck mit der Seitenlänge von 2 Steinen entsteht. Dann verlängert man zwei benachbarte Seiten um je einen Stein und fügt weitere 7 Steine so hinzu, dass ein größeres Sechseck mit der Seitenlänge von 3 Steinen entsteht. Fährt man in dieser Weise fort, erhält man die Folge der Hexagonalzahlen 1, 6, 15, 28, 45, … . Die zweiunddreißigste Zahl in dieser Folge ist 2016. Man kann zeigen, dass die n-te Hexagonalzahl sich als n(2n – 1) schreiben lässt. Damit ist 2016 = 32·(64 – 1).

Jede Hexagonalzahl ist im Übrigen auch eine Dreieckszahl. Das heißt, man kann 2016 Steine (in der Ebene) so anordnen, dass sie ein ausgefülltes gleichseitiges Dreieck bilden. Die Folge der Dreieckszahlen beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, …. Die zugehörigen Dreiecke haben die Seitenlängen 1, 2, 3, 4, usw. Allgemein gilt: Ist die Seitenlänge n, enthält das Dreieck n(n + 1)/2 Steine. Man rechnet leicht nach, dass das Dreieck mit 2016 Steinen die Seitenlänge n = 63 hat: 2016 = 63×64/2