Monthly Archives: Juli 2013

Arithmetische Primzahlfolgen

1.   Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen

Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abstände zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder beträgt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zusätzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel wenn sie Primzahlen sind. Eine arithmetische Primzahlfolge1 mit 5 Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen beträgt hierbei jeweils 12. Diese Folge lässt sich nicht verlängern, denn das nächste Glied müsste 65 sein. Diese Zahl aber ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.

Wie viele Folgeglieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Im Jahre 1923 vermuteten die britischen Mathematiker Hardy und Littlewood 2, dass es keine obere Grenze für diese Zahl gebe. Mehr als 80 Jahre später (2004) konnte diese Vermutung von den Mathematikern Green und Tao 3 bewiesen werden: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger Länge. Außerdem bewiesen Green und Tao, dass es zu jeder vorgegebenen Länge unendlich viele verschiedene solcher Folgen gibt.  

Folgenmaschinen-Grafik

Folgenmaschine6C

 

In einem Artikel der MNU-Zeitschrift (Rosebrock1) wird die Rekursionsvorschrift für die bekannte 3N+1-Folge (Collatz-Folge) verallgemeinert. Die Collatz-Folge startet mit einer beliebigen Zahl x ∊ N und entsteht durch die Vorschrift: Setze als Nachfolger 3x + 1, falls x ungerade ist, andernfalls (x gerade) durch x/2. Eine mögliche Verallgemeinerung besteht darin, Folgemaschinen zu betrachten, für die der Term 3x + 1 durch  f1(x) = ax + b oder f1(x) = ax – b (mit a, b ∊ N ) ersetzt wird und der Collatz’sche Term  f2(x) = x/2 beibehalten wird. Dabei entstehen Folgen mit unterschiedlichem Grenzverhalten. Hier ein Versuch, dieses Verhalten grafisch darzustellen. Die Abbildung zeigt zeigt das Ergebnis meiner Spielereien. Mehr dazu hier.

1 S. Rosebrock: Die Folgenmaschine. MNU 55/7 (2002), S. 403-407