Monat: Dezember 2015

Setzt man im Term x² – x + 41 nacheinander x = 1, 2, 3, usw. bis x = 40, so erhält man die Zahlen 41, 43, 47, 53, usw. bis 1601, die allesamt Primzahlen sind. Dasselbe gilt für den Term x² + x + 41 und x = 1, 2, 3, usw. bis x = 39. Das war schon Euler¹ (1772) bekannt. Der Term wird deshalb auch nach ihm benannt (Eulersches Primzahl-Polynom). Für Werte x > 40 liefern er zwar keine ununterbrochene Folge von Primzahlen, aber immerhin etwa 7mal mehr als ein Zufallsgenerator, der vergleichbar große Zahlen erzeugt². Man kann diese Eigenschaft grafisch darstellen. Die Idee dazu ist der „Primzahlteppich“, eine mathematische Spielerei, die von Bartolomé, Rung und Kern in ihrem Buch über Zahlentheorie beschrieben wird³.

Deren Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die beispielsweise die Summe x + y, das Produkt xy oder irgendein anderer Rechenterm T(x, y) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den von mir gefundenen Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms zu Tage treten lässt. Er wird von T(x, y) = x² + y erzeugt. „Normale“ Primzahlen sind durch graue Karos gekennzeichnet, Eulersche durch Färbung in Magenta hervorgehoben. Man erkennt eine Häufung der grauen Karos, d. h. der „normalen“ Primzahlen, auf Streifen in Richtung der Haupt- und Nebendiagonalen (und auf einigen Parallelen zur x-Achse). Wie erwartet, liegen auch die Eulerschen Primzahlen auf Diagonalen: Der magenta gefärbte Streifen, der in der unteren Hälfte am linken Rand beginnt und unter 45° nach rechts unten verläuft, entspricht der Gleichung y = 41 – x. Setzt man dieses y in den Term T(x, y) = x² + y  ein, entsteht das Eulersche Polynom P(x) =  x² – x + 41. Ersetzt man x durch  – x, entsteht P(x) =  x² + x + 41. Diesem Polynom entspricht der magentafarbene Streifen, der unter 45° nach rechts oben verläuft. Die Grafik zeigt, dass beide Streifen für x ≦ 40 keine Lücken haben, also ausschließlich aus Primzahlen bestehen. Für  x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen.

¹ Euler, Leonhard, zitiert in http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl.
² Hardy, Godfrey H.  und  John E. Littlewood,  zitiert in http://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral.
³ Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995). Siehe auch meine eigenen Primzahlteppiche.