Kategorie: Computergrafik

1.   Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen

Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abstände zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder beträgt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zusätzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel wenn sie Primzahlen sind. Eine arithmetische Primzahlfolge¹ mit 5 Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen beträgt hierbei jeweils 12. Diese Folge lässt sich nicht verlängern, denn das nächste Glied müsste 65 sein. Diese Zahl aber ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.

Wie viele Folgeglieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Im Jahre 1923 vermuteten die britischen Mathematiker Hardy und Littlewood ², dass es keine obere Grenze für diese Zahl gebe. Mehr als 80 Jahre später (2004) konnte diese Vermutung von den Mathematikern Green und Tao ³ bewiesen werden: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger Länge. Außerdem bewiesen Green und Tao, dass es zu jeder vorgegebenen Länge unendlich viele verschiedene solcher Folgen gibt.  

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In einem Artikel der MNU-Zeitschrift (Rosebrock¹) wird die Rekursionsvorschrift für die bekannte 3N+1-Folge (Collatz-Folge) verallgemeinert. Die Collatz-Folge startet mit einer beliebigen Zahl x ∊ N und entsteht durch die Vorschrift: Setze als Nachfolger 3x + 1, falls x ungerade ist, andernfalls (x gerade) durch x/2. Eine mögliche Verallgemeinerung besteht darin, Folgemaschinen zu betrachten, für die der Term 3x + 1 durch  f₁(x) = ax + b oder f₁(x) = ax – b (mit a, b ∊ N ) ersetzt wird und der Collatz’sche Term  f₂(x) = x/2 beibehalten wird. Dabei entstehen Folgen mit unterschiedlichem Grenzverhalten. Hier ein Versuch, dieses Verhalten grafisch darzustellen. Die Abbildung zeigt zeigt das Ergebnis meiner Spielereien. Mehr dazu hier.

¹ S. Rosebrock: Die Folgenmaschine. MNU 55/7 (2002), S. 403-407

Ein kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x = 1,2 ist x² = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x²)² = 2,0736. Fährt man mit dieser Rechnung fort, erhält man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder über alle Grenzen wachsen. Wählt man dagegen als Anfangszahl x = 0,8, entsteht die Folge 0,64, 0,4096, 0,16778, 0,028147, ….. , die gegen den Grenzwert Null strebt.

Zahlenfolgen, die durch Iteration entstehen, können unerwartete Eigenschaften haben. Ihr Verhalten hängt in der Regel vom Anfangswert ab. Interessant sind Folgen, bei denen in jedem Schritt nicht nur quadriert, sondern nach dem Quadrieren eine reelle Konstante c addiert wird. Das heißt, man erzeugt den Nachfolger x_n+1 der Zahl x_n durch die Rechenvorschrift x_n+1 = (x_n)² +  c. Jetzt hängt das Verhalten der Zahlenfolge auch vom Wert von c ab. Beispiel: Startet man mit  x₀ = 0,  ergibt c =  0,25 die Folge 0,25,  0,3125,  0,347656  usw. Sie strebt gegen den Grenzwert x = 0,500. Für c = – 0,5 erhält man die Folge  – 0,50, – 0,25, – 0,4375, –  0,308594, usw. , die gegen x = – 0,366025… strebt. Eine noch kompliziertere Rechenvorschrift ist x_{n +1} =  x_n² – x_n-1 + c. Bei dieser Folge ergibt sich der Nachfolger aus dem Vorgänger und dem Vor-Vorgänger der Zahl x_{n +1}.

Derart erzeugte Folgen zeigen mitunter chaotisches Verhalten, obwohl sie durch eine streng deterministische Rechenvorschrift entstehen. Trägt man die Zahlenwerte der Folgeglieder in Abhängigkeit vom Parameter c in ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Diagramm, das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum benannt wird. Die Abbildung zeigt ein solches Feigenbaum-Diagramm für einen kleinen Ausschnitt von Folge- und Parameterwerten.

Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen ästhetischen Reiz.  Mehr dazu und zur Mathematik dieser Diagramme hier