Ein kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x = 1,2 ist x2 = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x2)2 = 2,0736. Fährt man mit dieser Rechnung fort, erhält man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder über alle Grenzen wachsen. Wählt man dagegen als Anfangszahl x = 0,8, entsteht die Folge 0,64, 0,4096, 0,16778, 0,028147, ….. , die gegen den Grenzwert Null strebt.
Zahlenfolgen, die durch Iteration entstehen, können unerwartete Eigenschaften haben. Ihr Verhalten hängt in der Regel vom Anfangswert ab. Interessant sind Folgen, bei denen in jedem Schritt nicht nur quadriert, sondern nach dem Quadrieren eine reelle Konstante c addiert wird. Das heißt, man erzeugt den Nachfolger xn+1 der Zahl xn durch die Rechenvorschrift xn+1 = (xn)2 + c. Jetzt hängt das Verhalten der Zahlenfolge auch vom Wert von c ab. Beispiel: Startet man mit x0 = 0, ergibt c = 0,25 die Folge 0,25, 0,3125, 0,347656 usw. Sie strebt gegen den Grenzwert x = 0,500. Für c = – 0,5 erhält man die Folge – 0,50, – 0,25, – 0,4375, – 0,308594, usw. , die gegen x = – 0,366025… strebt. Eine noch kompliziertere Rechenvorschrift ist xn +1 = xn2 – xn-1 + c. Bei dieser Folge ergibt sich der Nachfolger aus dem Vorgänger und dem Vor-Vorgänger der Zahl xn +1.
Derart erzeugte Folgen zeigen mitunter chaotisches Verhalten, obwohl sie durch eine streng deterministische Rechenvorschrift entstehen. Trägt man die Zahlenwerte der Folgeglieder in Abhängigkeit vom Parameter c in ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Diagramm, das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum benannt wird. Die Abbildung zeigt ein solches Feigenbaum-Diagramm für einen kleinen Ausschnitt von Folge- und Parameterwerten.
Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen ästhetischen Reiz. Mehr dazu und zur Mathematik dieser Diagramme hier