Monthly Archives: September 2013

Primzahlteppiche und Eulers Polynom

PrimzahlTeppichAbsxminusy02

Ein Vorschlag von Bartholomé, Rung und Kern1 aufgegriffen: der Primzahlteppich.

Ein Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die beispielsweise die Summe x + y, das Produkt xy oder irgendein anderer Rechenausdruck („Term“) T(x, y) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den Primzahlteppich des Terms T(x, y) = abs(x – y), das heißt, Punkte bzw. Karos (x, y),  für die der Absolutbetrag (abs) der Differenz x – y eine Primzahl ist, sind durch die Farbe weiß gekennzeichnet. Um etwas Farbe in den Teppich zu bringen, markieren wir mit anderen Farben auch die Punkte (Karos), für die der Term eine zusammengesetzte Zahl mit zwei bzw. drei Primfaktoren ist (“Fast-Primzahlen”). Wir wählen rot für Zahlen mit zwei Primfaktoren und blau für solche mit drei Primfaktoren. Mehr über Primzahlteppiche hier. Ein Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms x- x + 41 darstellt, ist nochmals an anderer Stelle beschrieben.

1)  Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg 1995

Schumann-Resonanzen, erster Versuch

AntenneImGarten

UKW-Rundfunksender arbeiten mit einer Frequenz von etwa 100 MHz. Es gibt aber auch “Radiowellen” (das sind elektromagnetische Schwingungen) mit sehr viel kleinerer Frequenz. Zum Beispiel 8 Hz – das heißt 8 Schwingungen in einer Sekunde. Sie werden Schumann-Resonanzen genannt, nach W. O. Schumann¹, der sie 1952 aufgrund theoretischer Rechnungen voraussagte.

Die Schumann-Resonanzen sind stehende Wellen, die sich zwischen der Erdoberfläche und der Ionosphäre ausbilden. Sie werden durch die Blitze der Gewitter angeregt, die ständig auf der Erde tätig sind. Ihre “Signalstärke” ist verschwindend klein. Ein Empfänger für diese Wellen muss sehr empfindlich sein, ist aber einfach aufzubauen – zumindest dann, wenn es, wie in meinem Fall, nur um den Nachweis der Schumann-Resonanzen geht. Das Foto zeigt einen Probe-Aufbau meines Empfängers und der Antenne. Ich verband den Ausgang meines Empfängers mit einem PC und ließ diesen die “Sendungen” des Gewitterfunks aufzeichnen. Der zeitliche Verlauf des gespeicherten Signals ist ein Wechselstrom, der sich kaum vom Rauschen eines ohmschen Widerstandes unterscheidet. Mit Hilfe eines FFT-Programms (FFT = Fast Fourier Transform) kann man dennoch feststellen, welche Frequenzen in diesem Signal vorhanden sind, und sogar messen, mit welcher relativen Stärke das der Fall ist. Das Diagramm zeigt das Ergebnis der Fourieranalyse: auf einem Untergrund von Rauschen mehrere breite “Buckel” und zwei scharfe Linien bei 16,7 und 50 Hz. Die breiten Buckel bei 8, 14, 21 und 34 Hz sind die Schumann-Resonanzen, die scharfen Linien entsprechen den Frequenzen des Bahnstroms (16,7 Hz) und der Energieversorgung (50 Hz). Ich gebe zu, die Resonanzen sind nicht sehr ausgeprägt, aber es ging mir nur um deren Nachweis, nicht um eine quantitative Messung. Hier mehr über dieses Experiment.

Spektrum

Und auch noch etwas Theorie: Man kann beispielsweise berechnen, bei welchen Frequenzen die Gewitter auf “Sendung” sind. Die Rechnungen erfordern etwas Mathematik2.

1 W. O. Schumann war Professor für Physik und Direktor des Elektrophysikalischen Instituts der TU München.

2 Die Rechnungen sind Näherungslösungen. Auch diese, mathematisch aufwändigere Rechnung.

 

 

Temperatur der Radiosonne bei 10 GHz

ParSpiegelSonne2004Radioastronomie für Anfänger (wie mich):

Richtet man eine Satellitenschüssel auf die Sonne, erhöht sich der Rauschpegel am Ausgang des Antennenkonverters (LNC, low noise converter) bezogen auf den Wert, den man normalerweise misst („normalerweise“ bedeutet zum Beispiel, dass die Antennenschüssel auf eine Himmelsregion fernab von der Sonne gerichtet wird). Ein Satellitenortungsgerät (Satfinder) zeigt diesen erhöhten Rauschpegel an. Das Foto zeigt die Messanordnung. Mit diesem „Experiment“ zeigt man, dass die Sonne nicht nur sichtbares Licht, sondern auch Radiostrahlung aussendet – im vorliegenden Experiment Radiostrahlung von ca. 10 GHz.  Die Intensität dieser Strahlung gibt man in der Regel an als die Temperatur eines schwarzen Körpers, der mit derselben Intensität strahlt. Durch Vergleich mit der Strahlung einer Hauswand o. ä. kann man die Temperatur der Sonne bei 10 GHz bestimmen. Es sind (11 ± 1) ∙ 103 K (Kelvin). Dieser Wert fügt sich gut in das Diagramm ein, das in der Literatur für die Strahlungsstärke der ruhigen Sonne angegeben wird, siehe die nachfolgende Abbildung. In dieser Abbildung ist auch das Ergebnis einer Messung bei 4 GHz eingetragen, ausgeführt von Studenten im Physik-Praktikum einer Hochschule.

Vergleich_eigene_Messung_mit_LoL85

Der von mir bei 10 GHz gemessene Wert 11000 K ist größer als die Temperatur der Sonne im Bereich des sichtbaren Lichts, die 6000 K beträgt. Das deutet darauf hin, dass die Sonne nicht wie ein idealer schwarzer Körper strahlt. Mehr zu diesem Experiment.

Mandelbrot-Menge

Mandelbrotmenge

Mandelbrot03

 

Abb. 1                                                                                    Abb. 2

Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots “Atlas” der zusammenhängenden Julia-Mengen – genannt “Apfelmännchen”. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gefärbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge.  Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.

Zur Mathematik der Juliamengen und der Mandelbrotmenge.