Meine Erntemaschine ist eine kleine Solarzelle, verborgen hinter den Rosen im Vorgarten. Sie liefert den Strom für vier Leuchtdioden, die ein kleines Plastikschild auf dem Schreibtisch beleuchten. Das tut sie nun schon seit Jahren – Zeit für eine kleine Anerkennung: Ich habe den Wirkungsgrad einer ihrer Artgenossinnen aus polykristallinem Silizium bestimmt. Hier ist das Ergebnis.

Das Experiment ist aus dem Schulunterricht entstanden, als wieder einmal Versuche mit Mikrowellen an der Reihe waren: Eine elektromagnetische Welle dringt bei Totalreflexion an einem optisch dünneren Medium in dieses ihr „verbotene” Medium ein. Ein grundlegendes physikalisches Phänomen, das man experimentell bearbeiten sollte, auch quantitativ – dachte ich. Versuche mit Mikrowellen, die an der Grenzfläche zwischen Paraffin und Luft (total-)reflektiert werden, erschienen dafür geeignet. Anleitungen oder Beschreibungen für quantitative Experimente gab es nicht. Nachschlagen bei Crawford¹ lieferte einige Hinweise, der Rest war Improvisation. Die Abbildung zeigt das Ergebnis meiner Messungen. Aufgetragen ist die Eindringtiefe der Mikrowellen als Funktion des Winkels der Totalreflexion. Die beste Anpassung an die Messpunkte (rote Kurve) liefert den Brechungsindex von Paraffin bei der Wellenlänge 3,2 cm, hier n = 1,43 ± 0,04. Der Literaturwert ist  n = 1,46. Mehr dazu hier.

¹  J. S. Crawford: Berkeley Physics Course, Volume III (Waves), New York: McGraw-Hill (1965)

Weißes Licht, zum Beispiel das der Sonne, setzt sich aus mehreren Farben zusammen. Bei Leuchtstoffröhren und Leuchtdioden (LED) kennt man kalt- und warmweiß. Im Foto ist das Weiß einer kaltweißen Leuchtdiode in seine Farben aufgefächert (sogar mehrfach). Untersucht man das Bild genauer, findet man heraus, welche Farben es sind. Mehr dazu hier.

Im Juni 1980 erschien im „Spektrum der Wissenschaft” (der deutschen Ausgabe des  Scientific American) ein Artikel von Martin Gardner¹ mit dem Titel „Weiße und braune Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen”. Gardner stellte darin die Arbeit eines Physikers vor – sein Name ist Richard F. Voss², der eine interessante Beziehung zwischen Musik („weiße und braune Melodien”) und zufälligen Schwankungen einer besonderen Art („1/f-Fluktuationen”) entdeckte. Zufällige Schwankungen heißen in der Physik üblicherweise „Rauschen”. Es geht also um den Zusammenhang zwischen Musik und Rauschen.

Musik erfreut (in der Regel), Rauschen nervt (meistens). Ob ein Lautsprecher Musik oder Rauschen liefert, hängt vom zeitlichen Verlauf der (niederfrequenten, NF-) Wechselspannung ab, die an der Lautsprecherspule anliegt. Folgt die Spannung einer Melodie, handelt es sich um Musik, schwankt sie zufällig, um Rauschen. Dieses Rauschen, das durch die zufälligen Schwankungen der Spannung V(t) des NF-Signals zustande kommt, ist hier nicht von Interesse. Hier geht es vielmehr um die zeitlichen Änderungen, die dem Auf und Ab der Lautstärke und der Tonhöhe in einem Musikstück entsprechen. Auch das sind Schwankungen – sie sind aber offenbar weniger oder nur zum Teil zufällig, stellen also eine andere Art Rauschen dar als die Schwankungen von V(t). Man kann sie aber aus dem Zeitverhalten dieses Signals, also aus V(t), ableiten: Die momentane Lautstärke des Signals ist proportional zur Leistung, und diese wiederum proportional zu V²(t). Die momentane Tonhöhe ist proportional zur momentanen Frequenz, und diese wiederum proportional zur Rate Z(t), mit der die Spannung das Vorzeichen wechselt, also proportional zur Zahl der Nulldurchgänge pro Sekunde (Nulldurchgangsrate, engl. zero crossing rate). Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen spiegeln sich also in den Größen V²(t), der Audioleistung, beziehungsweise der Nulldurchgangsrate Z(t) wider.

Beide Größen, V²(t) und Z(t), werden nach Fourier zerlegt. Ihre Fouriertransformierten S_V²(f) beziehungsweise S_Z(f) geben an, mit welcher Intensität ein kleines Frequenzintervall, dessen Mitte die Frequenz f ist, zur Schwankung der entsprechenden Größe im Musikstück beiträgt. Eine Intensität pro Frequenzintervall heißt üblicherweise spektrale Dichte, S_V²(f) und S_Z(f) sind daher die spektralen Dichten der Lautstärke (Audioleistung) beziehungsweise momentanen Tonhöhe (Nulldurchgangsrate). Von Interesse ist deren Abhängigkeit von der Frequenz. Voss’ Ergebnis lautet: Die spektrale Dichte der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen von Musik nimmt umgekehrt proportional zur Frequenz ab. Sie verhält sich, mathematisch ausgedrückt, wie die Funktion 1/f – daher der Name „1/f -Fluktuationen“. Stellt man sie in doppelt-logarithmischem Koordinatenpapier dar, ergibt sich eine Gerade mit der Steigung –1.

In die Sprache der Musik übersetzt, heißt das: Langsame Schwankungen von Lautstärke und Tonhöhe, sie entsprechen kleinen Frequenzen in S_V²(f) und S_Z(f), überwiegen gegenüber schnellen Änderungen, das heißt hohen Frequenzen in S_V²(f) und S_Z(f). Kleine Änderungen von Lautstärke und Tonhöhe kommen weitaus öfter vor als große Sprünge. Voss hat 1/f-Fluktuationen von Lautstärke und Tonhöhe in verschiedenen Arten von Musik nachgewiesen: Klassik, Jazz, Rock und Pop. Im Übrigen untersuchte er auch Nachrichtensendungen und Aufzeichnungen von Reden, also Sprache, im Hinblick auf derartige Fluktuationen. Sie sind, wie er feststellte, jedoch anderer Art.

Ich habe einen Teil der Voss’schen Experimente versucht nachzuahmen – schon vor einigen Jahren. Aktuelle Experimente haben meine früheren Ergebnisse bestätigt. Die Abbildung zeigt die von mir kürzlich gemessenen spektralen Dichten der Lautstärke- und Tonhöhenfluktuationen in den Brandenburgischen Konzerten und Orchestersuiten von J. S. Bach (Diese Musikstücke hatte auch Voss analysiert). Die rote Kurve stellt die Dichte S_V²(f) der Lautstärkeschwankungen, die grüne Kurve die Dichte S_Z(f) der Tonhöhenschwankungen dar. Beide Kurven zeigen, wie bei Voss, einen 1/f -Verlauf. Um den Unterschied zwischen den Fluktuationen von Audioleistung V²(t) und Nulldurchgangsrate Z(t) auf der einen und Signalspannung V(t) auf der anderen Seite deutlich zu machen, wurde in der Abbildung auch die Dichte von V(t) dargestellt (blaue Kurve, mit S_V(f) bezeichnet). Sie ist im dargestellten Frequenzbereich und auch oberhalb von 10 Hz von der Frequenz unabhängig („weißes Rauschen”).  –  Mehr Rauschen hier.

¹  Martin Gardner: Mathematische Spielereien – Weiße und brauen Melodien, Schachtelkurven und 1/f-Fluktuationen, Spektrum der Wissenschaft („Scientific American”), Juni 1980, S. 14

²  Richard F. Voss und John Clarke: 1/f noise in music: Music from 1/f noise, J. Acoust. Soc. Am. 63(1), Jan. 1978, p. 258