Keine hebräischen Schriftzeichen und auch keine mystischen Kultsymbole, sondern Salzkörner auf einer schwarzen Stahlplatte – das zeigt die nebenstehende Abbildung. Es handelt sich um Chladnische Klangfiguren, benannt nach ihrem Entdecker Ernst Florens Chladni (1756 – 1827).

Man erzeugt diese Figuren, indem man eine  waagerecht liegende, dünne Metallplatte mit Sand (in unserem Fall Salz) bestreut und in Schwingungen versetzt. Das erreicht man beispielsweise, indem man die Platte von unten mit einem Lautsprecher beschallt, der einen reinen Sinuston abstrahlt.

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Resonanzkurven haben einen gewissen ästhetischen Reiz. Ein Beispiel zeigt die Abbildung. Sie ist das Ergebnis einer Messung an einem Federpendel.

Wir hängen ein Gewichtsstück an eine Schraubenfeder und bewegen das obere Ende der Feder mit der Hand auf und ab. Dabei gerät das Gewichtsstück in Schwingungen. Treffen wir den richtigen Takt beim Auf- und Ab-Bewegen der Feder, schwingt das Gewichtsstück sehr weit aus – wir regen die Schwingung in Resonanz an. Die Resonanzkurve gibt an, wie weit das Federpendel bei verschiedenen Taktfrequenzen ausschlägt. In unserem Fall ist die Schwingungsweite („Amplitude“)  am größten, wenn man die Feder etwa einmal pro Sekunde  auf- und ab bewegt. Das heißt, die Resonanzfrequenz ist 1 Hertz (Hz). Mehr über die Resonanzkurve eines Federpendels.

Goldener Schnitt und Physik haben nicht viel gemeinsam, sollte man meinen. Stimmt nicht – eine Aufgabe aus der Elektrizitätslehre zeigt das. Das nachfolgende Beispiel stammt auch aus der Physik und ist in Fachkreisen sicher bekannt. Mir fiel jetzt ein, dass ich es vor Jahren einmal nachgerechnet habe. Danach vergaß ich es – das hat es nicht verdient. Also eine kleine Neuauflage des Problems. Es geht um ein L-förmiges Stück Karton.

Abb. 1

Wir starten mit einem quadratischen Stück Karton. Aus diesem Quadrat soll ein kleineres Quadrat an der rechten oberen Ecke herausgeschnitten werden, dessen Seiten parallel zu denen des größeren Quadrats sind. Übrig bleibt ein L-förmiges Kartongebilde mit gleich langen Schenkeln. Dieses soll am Schnittpunkt der Schenkel-Innenkanten so aufgehängt werden, dass seine Schenkel in der Waagerechten sind. Frage: Wie groß muss die Kantenlänge des herausgeschnittenen Quadrats sein, bezogen auf die Kantenlänge des ursprünglichen Quadrats, damit dies der Fall ist?

Man sieht sofort ein, dass der Aufhängepunkt der Schwerpunkt der L-förmigen Restfläche sein muss. Wir müssen daher die Lage dieses Schwerpunkts berechnen, und zwar in Abhängigkeit von der Kantenlänge des herausgeschnittenen Quadrats.

Um die Rechnung zu vereinfachen, setzen wir die Kantenlänge des ursprünglichen Quadrats gleich 1 (Eins). Die Kantenlänge des herausgeschnittenen Quadrats sei r genannt. Es ist nun sinnvoll, ein (rechtwinkliges) Koordinatensystem zugrunde zu legen, dessen Ursprung mit der linken unteren Ecke des ursprünglichen Quadrats zusammen fällt, und dessen Achsen sich in Richtung der unteren Kante (x-Achse) bzw. linken Kante (y-Achse) dieses Quadrats erstrecken (Abb. 1).

Abb. 2 Das ausbalancierte L (rot)

Die Rechnung ergibt, dass r der Gleichung   r³   –  2r  +  1  =   0 genügen muss. Die positiven Lösungen dieser Gleichung sind r = 1 oder r = 0,61803398… . Das heißt, der Schnittpunkt der Schenkel-Innenkanten des „L“  liegt entweder bei ( x, y )   =  (1, 1)  oder bei ( x, y )   =   (0,618…, 0,618…). Die erste Lösung  (1, 1)   entspricht einem „L“ mit Flächeninhalt Null, sie ist physikalisch nicht zu realisieren. Bei der zweiten hingegen liegt der Schwerpunkt innerhalb der Fläche des ursprünglichen Quadrats, und zwar im „Goldenen Schnitt“ der Quadratseiten¹. Abb. 2 zeigt ein solches ausbalanciertes L.

¹ Alles über den Goldenen Schnitt steht z. B. bei A. Beutelspacher und B. Petri: Der Goldene Schnitt, BI-Verlag, Mannheim 1989

Drei Verstärkerschaltungen auf Experimentierplatine

Unter uns Funkamateuren vom (DARC-) Ortsverband Mönchengladbach kam der Wunsch auf, einfache elektronische Schaltungen einmal selbst zu bauen – und, soweit möglich, auch zu verstehen. Zugegeben, keine originelle Idee, aber eine, die offenbar voll im Trend liegt: Die Zeit der Maker ist angebrochen, lesen wir überall.

Unser erstes Projekt, zum „Warmlaufen“: eine einfache NF-Verstärkerstufe. Damit das Löten nicht gleich zu Anfang ein Hindernis war, wurde sie auf einer Experimentierplatine aufgebaut. Das machte auch keine Probleme. Das Foto zeigt die Platine mit drei verschiedenen Verstärkerstufen – links mit einem bipolaren npn-Transistor (BC 547C), in der Mitte mit einem MOSFET (BS 170) und rechts mit einem JFET (BF 245C).

Die Schaltungen funktionierten. Aber dann wollten wir wissen, wie man die Werte der Widerstände und Kondensatoren berechnet, die dort eingesetzt wurden – beispielsweise in der Schaltung mit dem npn-Transistor. Dazu ein Rechenbeispiel (Die Betonung liegt auf Beispiel: Beim praktischen Aufbau stellte sich heraus, dass die entsprechende Schaltung noch verbessert werden könnte).