Temperatur der Radiosonne bei 10 GHz

ParSpiegelSonne2004Radioastronomie für Anfänger (wie mich):

Richtet man eine Satellitenschüssel auf die Sonne, erhöht sich der Rauschpegel am Ausgang des Antennenkonverters (LNC, low noise converter) bezogen auf den Wert, den man normalerweise misst („normalerweise“ bedeutet zum Beispiel, dass die Antennenschüssel auf eine Himmelsregion fernab von der Sonne gerichtet wird). Ein Satellitenortungsgerät (Satfinder) zeigt diesen erhöhten Rauschpegel an. Das Foto zeigt die Messanordnung. Mit diesem „Experiment“ zeigt man, dass die Sonne nicht nur sichtbares Licht, sondern auch Radiostrahlung aussendet – im vorliegenden Experiment Radiostrahlung von ca. 10 GHz.  Die Intensität dieser Strahlung gibt man in der Regel an als die Temperatur eines schwarzen Körpers, der mit derselben Intensität strahlt. Durch Vergleich mit der Strahlung einer Hauswand o. ä. kann man die Temperatur der Sonne bei 10 GHz bestimmen. Es sind (11 ± 1) ∙ 103 K (Kelvin). Dieser Wert fügt sich gut in das Diagramm ein, das in der Literatur für die Strahlungsstärke der ruhigen Sonne angegeben wird, siehe die nachfolgende Abbildung. In dieser Abbildung ist auch das Ergebnis einer Messung bei 4 GHz eingetragen, ausgeführt von Studenten im Physik-Praktikum einer Hochschule.

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Der von mir bei 10 GHz gemessene Wert 11000 K ist größer als die Temperatur der Sonne im Bereich des sichtbaren Lichts, die 6000 K beträgt. Das deutet darauf hin, dass die Sonne nicht wie ein idealer schwarzer Körper strahlt. Mehr zu diesem Experiment.

Mandelbrot-Menge

Mandelbrotmenge

Mandelbrot03

Abb. 1                                                                                    Abb. 2

Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots „Atlas“ der zusammenhängenden Julia-Mengen – genannt „Apfelmännchen“. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gefärbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge.  Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.

Zur Mathematik der Juliamengen und der Mandelbrotmenge.

CD als Reflexionsgitter

Eine CD, mit der „Rillenseite“ ins Licht gehalten, erzeugt Farben. Sie entstehen dadurch, dass sich Lichtwellen, die von unterschiedlichen Rillen reflektiert werden, gegenseitig verstärken oder auslöschen –  je nach Wellenlänge, Einfallswinkel und Blickrichtung. Dasselbe beobachtet man beim Blick durch ein optisches Gitter. Beim optischen Gitter betrachtet man das hindurchgehende Licht, bei der CD das von ihr reflektierte Licht. Kurzum, die CD müsste sich als Reflexionsgitter eignen. Das ist in der Tat der Fall. Sie in der Schulphysik anstelle von Doppelspalt & Co.  einzusetzen bringt auch etwas Schwung in den Unterricht. Das meinte schon einer meiner Kollegen1 und ließ mit einem He-Ne-Laser den genauen Spurenabstand auf der Scheibe messen. Ich drückte meinen Schülern und Schülerinnen eine CD in die Hand mit der Aufgabe, die Wellenlängen einiger Quecksilberlinien zu bestimmen. Das geht recht gut, auch wenn die Formeln, die man zur Auswertung benötigt, etwas unübersichtlich sind. Hier ein Bericht von diesem Experiment.

  1  D. Ohlmann, Eine Compact Disk als Versuchsgerät im Physikunterricht, Praxis der Naturwissenschaften – Physik 2/43 (1994).

Zu Boden fallen …

… viele Gegenstände, zu Boden sinken nur wenige – Luftballons zum Beispiel. Ein Grund dafür, ihr langsames  Hinabschweben einmal genauer zu studieren. Das haben die Schüler und Schülerinnen meiner Arbeitsgemeinschaft Physik getan. Einzelheiten dazu hier. Das Versuchsgelände (Foto) war das Treppenhaus unserer Schule.

Foucault-Pendel

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Foucault-Pendel mit Antriebsspule

Wie zeigt man, dass sich die Erde um ihre Achse dreht – und nicht Sonne, Mond und Sterne die Erde täglich umkreisen? Natürlich mit einem Foucault-Pendel!

Ein spärisches Pendel, das auf der Erdoberfläche in Schwingungen versetzt wird, behält seine Schwingungsebene relativ zu den Fixsternen bei. Währenddessen dreht sich die Erde unter ihm – einmal in 24 Stunden um ihre Achse. Von der Erdoberfläche aus gesehen, dreht sich die Schwingungsebene des Pendels, allerdings nicht um 360 Grad pro Tag, sondern um einen Winkel, der von der geografischen Breite des Pendelortes abhängt. Für eine geografische Breite von 51 Grad nördlich beträgt dieser Winkel 11,7 Grad pro Stunde, wobei die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt.

Arithmetische Primzahlfolgen

1.   Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen

Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abstände zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder beträgt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zusätzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel wenn sie Primzahlen sind. Eine arithmetische Primzahlfolge1 mit 5 Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen beträgt hierbei jeweils 12. Diese Folge lässt sich nicht verlängern, denn das nächste Glied müsste 65 sein. Diese Zahl aber ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.

Wie viele Folgeglieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Im Jahre 1923 vermuteten die britischen Mathematiker Hardy und Littlewood 2, dass es keine obere Grenze für diese Zahl gebe. Mehr als 80 Jahre später (2004) konnte diese Vermutung von den Mathematikern Green und Tao 3 bewiesen werden: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger Länge. Außerdem bewiesen Green und Tao, dass es zu jeder vorgegebenen Länge unendlich viele verschiedene solcher Folgen gibt.  

Folgenmaschinen-Grafik

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In einem Artikel der MNU-Zeitschrift (Rosebrock1) wird die Rekursionsvorschrift für die bekannte 3N+1-Folge (Collatz-Folge) verallgemeinert. Die Collatz-Folge startet mit einer beliebigen Zahl x ∊ N und entsteht durch die Vorschrift: Setze als Nachfolger 3x + 1, falls x ungerade ist, andernfalls (x gerade) durch x/2. Eine mögliche Verallgemeinerung besteht darin, Folgemaschinen zu betrachten, für die der Term 3x + 1 durch  f1(x) = ax + b oder f1(x) = ax – b (mit a, b ∊ N ) ersetzt wird und der Collatz’sche Term  f2(x) = x/2 beibehalten wird. Dabei entstehen Folgen mit unterschiedlichem Grenzverhalten. Hier ein Versuch, dieses Verhalten grafisch darzustellen. Die Abbildung zeigt zeigt das Ergebnis meiner Spielereien. Mehr dazu hier.

1 S. Rosebrock: Die Folgenmaschine. MNU 55/7 (2002), S. 403-407

Resonanzkurve eines LC-Schwingkreises

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Abbildung 1 Resonanzkurve

 

Ein LC-Kreis ist ein elektromagnetischer Schwingkreis, bestehend aus der Parallelschaltung einer Spule und eines Kondensators. Die Abkürzung LC bedeutet Spule-Kondensator: L ist das Formelzeichen für eine Induktivität (Spule), C das Zeichen für eine Kapazität (Kondensator).  Trägt man den Wechselstromwiderstand eines LC-Kreises als Funktion der Frequenz auf, erhält man die sogenannte Resonanzkurve.

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Abbildung 2 Messaufbau

Abbildung 1 zeigt das Beispiel einer Resonanzkurve, die mithilfe der Soundkarte eines Computers aufgenommen wurde. Der Messaufbau ist aus Abb. 2 ersichtlich. Schwingkreis und Pufferstufe sind auf einer Experimentierplatine (Hirschmann) aufgebaut. Für die Physik von Interesse ist beispielsweise die Abhängigkeit der Breite dieser Kurve (Bandbreite) vom Verlustwiderstand des LC-Kreises. Sicher keine aufregende Untersuchung, aber als Experimentierübung bestens geeignet. Hier eine kurze Zusammenfassung der Theorie und die Auswertung einer Messreihe dazu – als Beispiel für eine Facharbeit in der Jahrgangsstufe Q1 des Gymnasiums.

Feigenbaum-Diagramme

Von einem Computerprogramm erzeugte GrafikEin kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x = 1,2 ist x2 = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x2)2 = 2,0736. Fährt man mit dieser Rechnung fort, erhält man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder über alle Grenzen wachsen. Wählt man dagegen als Anfangszahl x = 0,8, entsteht die Folge 0,64, 0,4096, 0,16778, 0,028147, ….. , die gegen den Grenzwert Null strebt.

Zahlenfolgen, die durch Iteration entstehen, können unerwartete Eigenschaften haben. Ihr Verhalten hängt in der Regel vom Anfangswert ab. Interessant sind Folgen, bei denen in jedem Schritt nicht nur quadriert, sondern nach dem Quadrieren eine reelle Konstante c addiert wird. Das heißt, man erzeugt den Nachfolger xn+1 der Zahl xn durch die Rechenvorschrift xn+1 = (xn)2 +  c. Jetzt hängt das Verhalten der Zahlenfolge auch vom Wert von c ab. Beispiel: Startet man mit  x0 = 0,  ergibt c =  0,25 die Folge 0,25,  0,3125,  0,347656  usw. Sie strebt gegen den Grenzwert x = 0,500. Für c = 0,5 erhält man die Folge  0,50, 0,25, 0,4375,   0,308594, usw. , die gegen x = 0,366025… strebt. Eine noch kompliziertere Rechenvorschrift ist xn +1xn2xn-1 + c. Bei dieser Folge ergibt sich der Nachfolger aus dem Vorgänger und dem Vor-Vorgänger der Zahl xn +1.

Derart erzeugte Folgen zeigen mitunter chaotisches Verhalten, obwohl sie durch eine streng deterministische Rechenvorschrift entstehen. Trägt man die Zahlenwerte der Folgeglieder in Abhängigkeit vom Parameter c in ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Diagramm, das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum benannt wird. Die Abbildung zeigt ein solches Feigenbaum-Diagramm für einen kleinen Ausschnitt von Folge- und Parameterwerten.

Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen ästhetischen Reiz.  Mehr dazu und zur Mathematik dieser Diagramme hier