Computergrafik

Dumme Brüche und Euklids Algorithmus

EuklidGrafikNeuD

Schrittzahl beim Euklidischen Algorithmus, siehe Text

Nach M. Bauer1  sind die Schüler(innen) der sechsten Klasse davon überzeugt, dass es dumme Brüche gibt. Dumm sind Brüche dann, wenn es schwierig ist herauszufinden, ob und wie man sie kürzen kann. Während man bei 25/75 sofort sieht, dass man mit 25 kürzen kann, braucht man etwas länger, um festzustellen, dass in 391/153 Zähler und Nenner durch 17 teilbar sind. Die Zeit, die man benötigt, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner zu finden, lässt sich quantitativ angeben als Anzahl der Schritte, die der Euklidische Algorithmus zu seiner Bestimmung erfordert. Mathematisch interessante Fragen, die sich aus dieser Tatsache ergeben, werden in der Arbeit von Bauer1 erörtert.

Primzahlteppiche und Eulers Polynom

PrimzahlTeppichAbsxminusy02

Ein Vorschlag von Bartholomé, Rung und Kern1 aufgegriffen: der Primzahlteppich.

Ein Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die beispielsweise die Summe x + y, das Produkt xy oder irgendein anderer Rechenausdruck („Term“) T(x, y) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den Primzahlteppich des Terms T(x, y) = abs(x – y), das heißt, Punkte bzw. Karos (x, y),  für die der Absolutbetrag (abs) der Differenz x – y eine Primzahl ist, sind durch die Farbe weiß gekennzeichnet. Um etwas Farbe in den Teppich zu bringen, markieren wir mit anderen Farben auch die Punkte (Karos), für die der Term eine zusammengesetzte Zahl mit zwei bzw. drei Primfaktoren ist (“Fast-Primzahlen”). Wir wählen rot für Zahlen mit zwei Primfaktoren und blau für solche mit drei Primfaktoren. Mehr über Primzahlteppiche hier. Ein Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms x- x + 41 darstellt, ist nochmals an anderer Stelle beschrieben.

1)  Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg 1995

Mandelbrot-Menge

Mandelbrotmenge

Mandelbrot03

 

Abb. 1                                                                                    Abb. 2

Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots “Atlas” der zusammenhängenden Julia-Mengen – genannt “Apfelmännchen”. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gefärbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge.  Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.

Zur Mathematik der Juliamengen und der Mandelbrotmenge.

Arithmetische Primzahlfolgen

1.   Arithmetische Folgen und Arithmetische Primzahlfolgen

Arithmetische Zahlenfolgensind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abstände zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich sind. Ein Beispiel ist die Folge 5, 9, 13, 17, 21, 25. Der Abstand der Folgeglieder beträgt hierbei 4 und die Folge hat 6 Glieder. Interessant sind Folgen, wenn die Glieder noch zusätzliche Eigenschaften haben – zum Beispiel wenn sie Primzahlen sind. Eine arithmetische Primzahlfolge1 mit 5 Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen beträgt hierbei jeweils 12. Diese Folge lässt sich nicht verlängern, denn das nächste Glied müsste 65 sein. Diese Zahl aber ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.

Wie viele Folgeglieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Im Jahre 1923 vermuteten die britischen Mathematiker Hardy und Littlewood 2, dass es keine obere Grenze für diese Zahl gebe. Mehr als 80 Jahre später (2004) konnte diese Vermutung von den Mathematikern Green und Tao 3 bewiesen werden: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger Länge. Außerdem bewiesen Green und Tao, dass es zu jeder vorgegebenen Länge unendlich viele verschiedene solcher Folgen gibt.  

Folgenmaschinen-Grafik

Folgenmaschine6C

 

In einem Artikel der MNU-Zeitschrift (Rosebrock1) wird die Rekursionsvorschrift für die bekannte 3N+1-Folge (Collatz-Folge) verallgemeinert. Die Collatz-Folge startet mit einer beliebigen Zahl x ∊ N und entsteht durch die Vorschrift: Setze als Nachfolger 3x + 1, falls x ungerade ist, andernfalls (x gerade) durch x/2. Eine mögliche Verallgemeinerung besteht darin, Folgemaschinen zu betrachten, für die der Term 3x + 1 durch  f1(x) = ax + b oder f1(x) = ax – b (mit a, b ∊ N ) ersetzt wird und der Collatz’sche Term  f2(x) = x/2 beibehalten wird. Dabei entstehen Folgen mit unterschiedlichem Grenzverhalten. Hier ein Versuch, dieses Verhalten grafisch darzustellen. Die Abbildung zeigt zeigt das Ergebnis meiner Spielereien. Mehr dazu hier.

1 S. Rosebrock: Die Folgenmaschine. MNU 55/7 (2002), S. 403-407

Feigenbaum-Diagramme

Von einem Computerprogramm erzeugte GrafikEin kleiner Ausflug in das mathematische Chaos: Das Quadrat der Zahl x = 1,2 ist x2 = 1,44, das Quadrat von 1,44 ist (x2)2 = 2,0736. Fährt man mit dieser Rechnung fort, erhält man die Zahlen (gerundet) 4,2998, 18,488, 341,82 usw. Sie bilden eine Folge, deren Glieder über alle Grenzen wachsen. Wählt man dagegen als Anfangszahl x = 0,8, entsteht die Folge 0,64, 0,4096, 0,16778, 0,028147, ….. , die gegen den Grenzwert Null strebt.

Zahlenfolgen, die durch Iteration entstehen, können unerwartete Eigenschaften haben. Ihr Verhalten hängt in der Regel vom Anfangswert ab. Interessant sind Folgen, bei denen in jedem Schritt nicht nur quadriert, sondern nach dem Quadrieren eine reelle Konstante c addiert wird. Das heißt, man erzeugt den Nachfolger xn+1 der Zahl xn durch die Rechenvorschrift xn+1 = (xn)2 +  c. Jetzt hängt das Verhalten der Zahlenfolge auch vom Wert von c ab. Beispiel: Startet man mit  x0 = 0,  ergibt c =  0,25 die Folge 0,25,  0,3125,  0,347656  usw. Sie strebt gegen den Grenzwert x = 0,500. Für c = - 0,5 erhält man die Folge  - 0,50, - 0,25, - 0,4375, -  0,308594, usw. , die gegen x = - 0,366025… strebt. Eine noch kompliziertere Rechenvorschrift ist xn +1xn2xn-1 + c. Bei dieser Folge ergibt sich der Nachfolger aus dem Vorgänger und dem Vor-Vorgänger der Zahl xn +1.

Derart erzeugte Folgen zeigen mitunter chaotisches Verhalten, obwohl sie durch eine streng deterministische Rechenvorschrift entstehen. Trägt man die Zahlenwerte der Folgeglieder in Abhängigkeit vom Parameter c in ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Diagramm, das nach dem amerikanischen Physiker Mitchell Jay Feigenbaum benannt wird. Die Abbildung zeigt ein solches Feigenbaum-Diagramm für einen kleinen Ausschnitt von Folge- und Parameterwerten.

Feigenbaum-Diagramme haben einen gewissen ästhetischen Reiz.  Mehr dazu und zur Mathematik dieser Diagramme hier