Mein Computer hat sich zum Thema „Alles Zufall: Linie und Fläche“ etwas Neues ausgedacht. Er zeichnet jetzt an Stelle der Quadrate, Rechtecke und Kreise zufallsgesteuerte Vielecke (Polygone) und füllt diese mit Farben aus. Position und Größe der Vielecke (und die Anzahl der Ecken) werden wiederum mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators bestimmt.
Man erhält Grafiken, die an Glasfenster erinnern. Hier einige Beispiele.
Malen und Zeichnen sind verschiedene Dinge. In der Fläche herrscht die Farbe, bei der Linie kommt es u. a. auf die (Strich-)Stärke an. Beide können trotzdem harmonisch zusammenarbeiten. Das Ineinandergreifen von disegno e colore (Zeichnung und Farbe) lässt sich anhand von Computergrafiken studieren. Dazu habe ich ein kleines Java-Programm geschrieben – und dabei auf die vielen Grafik-Bibliotheksfunktionen dieser Sprache zurückgegriffen. Es erzeugt ein abstraktes „Bild“, in dem Farbe und Linie, Kontur und Strichstärke nach dem Zufallsprinzip variiert werden.
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Linien, die seltsam verschlungen nach oben streben und dort in Blätter- oder Blumenornamenten enden, das ist für viele der Inbegriff des Jugendstils¹. Offenbar hat mein Computer eine ähnliche Vorstellung von dieser Kunstrichtung. Beim Spielen mit dem Feigenbaum-Programm stieß ich per Zufall auf jugendstilartige „Spaghetti“-Grafiken. Sie sind erweiterte „Endzustandsdiagramme“, die ein zweistufiger Feigenbaum-Algorithmus erzeugt. Verbale Formulierung des Algorithmus und Liste der Parameterwerte.
¹ Selbstverständlich beschränkt sich der Jugendstil nicht auf seltsam veschlungene Blätter- und Blumenornamente als Stilelemente – und die vom Computer berechneten Grafiken sind auch nur sehr entfernt mit Jugendstilornamenten verwandt. Verzeihung, liebe Kunsthistoriker, für die saloppe Formulierung.
Zum Gitterpunktsatz
Pierre de Fermat entdeckte, dass Primzahlen größer als 2 sich genau dann in eine Summe aus zwei Quadraten zerlegen lassen, wenn sie sich in der Form 4n + 1 (n ∈ N ) darstellen lassen – oder, als Satz formuliert: Eine Primzahl p größer als 2 lässt sich dann und nur dann in eine Summe aus zwei Quadratzahlen zerlegen, wenn sie bei der Division durch 4 den Rest 1 lässt, wenn also gilt p ≡ 1 (mod 4). Beispiele: 5 = 12+ 22 oder 13 = 22+ 32. Der Satz ist unter dem Namen Zwei-Quadrate-Satz in die Geschichte der Zahlentheorie eingegangen und, wie man liest, eines der Highlights dieser Disziplin. Ian Stewart hat den Beweis dieses Satzes in eine humorvolle „Nacherzählung“ von Charles Dickens „Ein Weihnachtslied in Prosa“ (A Christmas Carol in Prose) eingebettet1.
Er greift dabei, wie vielfach üblich, auf einen weiteren berühmten Satz der Mathematik zurück, den Minkowskischen Gitterpunktsatz. Der ist an Anschaulichkeit nicht zu übertreffen und verlangt geradezu danach, computergrafisch dargestellt zu werden. Ich konnte nicht widerstehen und habe einige Computerzeichnungen in Anlehnung an den Artikel von Stewart programmiert. Die Abbildung zeigt ein Beispiel.
Ulams (viereckige) Primzahlspirale. Die natürlichen Zahlen werden, in der Mitte mit 1 beginnend, der Reihe nach spiralförmig im Gegenuhrzeigersinn eingetragen. Hier sind es die Zahlen bis einschließlich 121 in der rechten unteren Ecke.
Wir nehmen ein Blatt kariertes Papier zur Hand und tragen die natürlichen Zahlen der Reihe nach in die Karos ein. Den Anfang macht die 1 in der Mitte des Blattes. Rechts davon wird die 2 platziert, im Kästchen darüber die 3 und links davon die beiden Zahlen 4 und 5. Die 6 und 7 belegen die Karos unterhalb der 5, und die 8 wird rechts von der 7 eingetragen, usw. Das heißt, wir bewegen uns im Gegenuhrzeigersinn auf einer (viereckigen) Spirale nach außen. Geraten wir an eine Primzahl, wird das zugehörige Kästchen farbig markiert.
Das Ergebnis sollte dann aussehen wie in der Abbildung.
Ein Quadrat ist ein rechtwinkliges Viereck mit vier gleich langen Seiten. Ein perfektes Quadrat ist ein Quadrat, das sich vollständig in kleinere Quadrate aufteilen lässt, wobei keine zwei dieser Teilquadrate einander gleich sein dürfen – oder, etwas mathematischer formuliert: Ein Quadrat, das sich in lauter paarweise verschieden große Quadrate zerlegen lässt, heißt perfekt.
Die Abbildung zeigt Exemplare des perfekten Quadrats der Ordnung 21. Es enthält 21 paarweise verschiedene Teilquadrate – mit unterschiedlichen Farben ausgemalt. Mehr…
Mit Botanik haben Feigenbaum-Diagramme nichts zu tun. Es geht hier um Mathematik. Von Feigenbaum-Diagrammen war schon einmal die Rede, auch von der Mathematik, die diesen Gebilden zugrunde liegt. Heute eine kleine Galerie von (hoffentlich) interessanten Diagrammen.
Die nachfolgende Einführung erklärt kurz, worum es geht.
Schrittzahl beim Euklidischen Algorithmus, siehe Text
Nach M. Bauer1 sind die Schüler(innen) der sechsten Klasse davon überzeugt, dass es dumme Brüche gibt. Dumm sind Brüche dann, wenn es schwierig ist herauszufinden, ob und wie man sie kürzen kann. Während man bei 25/75 sofort sieht, dass man mit 25 kürzen kann, braucht man etwas länger, um festzustellen, dass in 391/153 Zähler und Nenner durch 17 teilbar sind. Die Zeit, die man benötigt, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner zu finden, lässt sich quantitativ angeben als Anzahl der Schritte, die der Euklidische Algorithmus zu seiner Bestimmung erfordert. Mathematisch interessante Fragen, die sich aus dieser Tatsache ergeben, werden in der Arbeit von Bauer1 erörtert.
Ein Vorschlag von Bartholomé, Rung und Kern1 aufgegriffen: der Primzahlteppich.
Ein Primzahlteppich ist ein Koordinatengitter, in dem diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die beispielsweise die Summe x + y, das Produkt xy oder irgendein anderer Rechenausdruck („Term“) T(x, y) eine Primzahl ist. Die Abbildung zeigt den Primzahlteppich des Terms T(x, y) = abs(x – y), das heißt, Punkte bzw. Karos (x, y), für die der Absolutbetrag (abs) der Differenz x – y eine Primzahl ist, sind durch die Farbe weiß gekennzeichnet. Um etwas Farbe in den Teppich zu bringen, markieren wir mit anderen Farben auch die Punkte (Karos), für die der Term eine zusammengesetzte Zahl mit zwei bzw. drei Primfaktoren ist („Fast-Primzahlen“). Wir wählen rot für Zahlen mit zwei Primfaktoren und blau für solche mit drei Primfaktoren. Mehr über Primzahlteppiche hier. Ein Teppich, der die Primzahlen des Eulerschen Polynoms x2 – x + 41 darstellt, ist nochmals an anderer Stelle beschrieben.
1) Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg 1995
Abb. 1 Abb. 2
Nicht Neues, aber immer wieder interessant: Mandelbrots „Atlas“ der zusammenhängenden Julia-Mengen – genannt „Apfelmännchen“. Die Mandelbrotmenge ist das schwarz gefärbte Gebiet in Abbildung 1. Interessant ist vor allem der Rand der Mandelbrotmenge. Abbildung 2 zeigt ein Beispiel.