Die Gleichung x2 = –1 hat in der Menge R der reellen Zahlen keine Lösung. Denn es gibt keine (reelle) Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, –1 ergibt. Mit anderen Worten, die Zahl √(–1) ist kein Element von R. Es ist aber in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik sinnvoll, mit dieser Zahl zu rechnen. Man nennt sie die imaginäre Einheit und bezeichnet sie mit dem Symbol i. Damit gilt i2 = –1. In der Mathematik zeigt man, dass Gleichungen beliebigen Grades Lösungen haben von der Form z = x + iy, wobei x und y reelle Zahlen sind. Zahlen der Form z = x + iy bilden die Menge C der komplexen Zahlen. Dabei heißt x Realteil, y Imaginärteil der komplexen Zahl z. Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist einfach: Um zum Beispiel 3 – 2i und 7 + 4i zu addieren, fasst man Real- und Imaginärteil getrennt zusammen. Die Summe ist 10 + 2i. Beim Multiplizieren wird zunächst das Distributivgesetz angewandt, das heißt, man rechnet (3 – 2i)(7 + 4i) = 21 + 12i – 14i – 8i2. Dann beachtet man i2 = –1, so dass 21 + 12i – 14i + 8 = 29 – 2i folgt. Komplexe Zahlen lassen sich nach einem Vorschlag von C. F. Gauß (1777 – 1855) in einem Koordinatensystem darstellen: der Realteil als x-Koordinate, der Imaginärteil als y-Koordinate. Dieses System heißt Gauß’sche Zahlenebene.
