Die Themen Primzahlteppiche und Eulersches Primzahlpolynom beschäftigen mich noch immer. Die Idee des Primzahlteppichs stammt von Bartolomé, Rung und Kern1. In ihrem Buch über Zahlentheorie ist ein Koordinatensystem abgebildet, in dem die Punkte markiert sind, für die der Wert des Terms T(x, y) = x2 + y2 eine Primzahl ist. Das Muster der Punkte lässt zwar keine große Ordnung erkennen (abgesehen von den trivialen Symmetrien bezüglich der Koordinatenachsen und des Nullpunkts), ist aber nicht zufällig. Variiert man T(x, y), entstehen andere Grafiken.
(1) Hawkins Primes
(2) Lucky Numbers
(3) Primzahlen
Zahlenteppiche: (1) Random Primes, (2) Lucky Numbers und (3) Primzahlen, siehe Text. Ein Klick auf die Abbildung vergrößert sie.
Meine Idee: Ich erweitere den Begriff des Primzahlteppichs auf den des Zahlenteppichs. Zahlenteppiche sind denmach kartesische Koordinatensysteme, in denen diejenigen Punkte (x, y) markiert werden, für die der Wert eines geeigneten Rechenterms T(x, y) eine Zahl mit einer beliebigen, vorgegebenen Eigenschaft ist. Die Eigenschaft, Primzahl zu sein, wäre somit ein Spezialfall. Wählt man den „richtigen“ Term T(x, y), so dachte ich, müsste es möglich sein, interessante Teppichmuster auch für Zahlenmengen zu erzeugen, die sich durch andere Eigenschaften auszeichnen als prim zu sein.
Ich wähle den Term T(x, y) = x + y2. Er liefert einen interessanten Primzahlteppich (dargestellt im Artikel Eulersches Primzahlpolynom). Die Primzahlen werden bekanntlich durch ein Siebverfahren erzeugt, benannt nach seinem Entdecker Eratosthenes. Deshalb liegt es nahe, Zahlen zu testen, die auch durch ein Siebverfahren entstehen. Da gibt es zunächst die „Glücklichen Zahlen“ (engl. Lucky Numbers2). Sie entstehen durch ein Sieb ähnlich dem des Eratosthenes. Es streicht aber die Zahlen im Sieb nicht aufgrund ihres Wertes (wie bei Eratosthenes), sondern aufgrund ihrer Position. Als dritte durch Sieben erzeugte Zahlenmenge soll die Folge der Hawkins Primes3 (oder Random Primes) betrachtet werden. Hawkins’ Sieb ist eine nicht-deterministische, vom Zufall gesteuerte Methode, unter den jeweils verbliebenen Zahlen zu streichen. Hier eine genaue Beschreibung der drei genannten Siebe.
Die Teppiche zum Term T(x, y) = x + y2, die den genannten Zahlenmengen Primzahlen, Lucky Numbers und Hawkins Primes entsprechen, sind oben dargestellt. Das Ergebnis ist nicht umwerfend (leider), bestätigt aber unsere intuitive Vorstellung von Ordnung und Chaos in den drei Mengen. Wie erwartet, zeigt der Teppich der Hawkins Primes (Abbildung 1, oben) keinerlei Abweichungen von einer Zufallsverteilung. Die „Glücklichen Zahlen“ (Lucky Numbers) in Abbildung 2 (Mitte) dagegen lassen schon Ketten von Punkten in Richtung der Haupt- und Nebendiagonale erahnen. Im Teppich der Primzahlen (Abbildung 3, unten) schließlich sind diese Ketten zahlreicher und länger geworden – jedenfalls deutlich sichtbar. Zwei dieser Ketten entsprechen den Eulerschen Primzahlen x2 ± x + 41, in der Abbildung durch die Farbe Magenta hervorgehoben. Für x < 41 haben sie keine Lücken, bestehen also ausschließlich aus Primzahlen. Für x > 40 ist die überdurchschnittlich große Häufung der Primzahlen auf dem oberen Ast deutlich zu sehen. Die mit grün markierten Primzahlpunkte gehören zu den Termen x2 ± x + 101 bzw. x2 ± x + 107. Siehe, wie schon erwähnt, den Beitrag Eulersches Primzahlpolynom.
1 Bartolomé, Andreas, Josef Rung und Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger (Vieweg 1995), S. 75.
2 Hawkins, D., Briggs, W.E.: The Lucky Number Theorem, Mathematics Magazine 31 (1957), 81 – 84, 277 – 280.
3 Hawkins, David: The Random Sieve, Mathematics Magazine 31 (1957), 1 – 3.